MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul al II-lea
Fie legea de compoziție ∗* definită pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} prin a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați elementul neutru, identificați toate elementele simetrizabile și rezolvați ecuația x∗(2∗x)=1x * (2 * x) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se caută elementul neutru ee astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice a∈Ra \in \mathbb{R}. Avem a+e+ae=a⇒e(1+a)=0⇒e=0a + e + ae = a \Rightarrow e(1+a) = 0 \Rightarrow e=0. Verificare: a∗0=a+0+a⋅0=aa * 0 = a + 0 + a \cdot 0 = a. Deci elementul neutru este 00.
24 puncte
Un element aa este simetrizabil dacă există a′∈Ra' \in \mathbb{R} cu a∗a′=0a * a' = 0. Rezolvăm a+a′+aa′=0⇒a′(1+a)=−a⇒a′=−a1+aa + a' + aa' = 0 \Rightarrow a'(1+a) = -a \Rightarrow a' = -\frac{a}{1+a}, pentru a≠−1a \neq -1. Astfel, elementele simetrizabile sunt R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\}.
33 puncte
Se rezolvă ecuația x∗(2∗x)=1x * (2 * x) = 1. Calculăm 2∗x=2+x+2x=2+3x2 * x = 2 + x + 2x = 2 + 3x. Apoi x∗(2+3x)=x+(2+3x)+x(2+3x)=3x2+6x+2x * (2 + 3x) = x + (2 + 3x) + x(2 + 3x) = 3x^2 + 6x + 2. Ecuația devine 3x2+6x+2=1⇒3x2+6x+1=03x^2 + 6x + 2 = 1 \Rightarrow 3x^2 + 6x + 1 = 0. Soluțiile sunt x=−3±63x = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.