MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Se consideră legea de compoziție x∗y=xy+a(x+y)+a2x * y = xy + a(x+y) + a^2 definită pe R\mathbb{R}, cu a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care există element neutru. Pentru a=1a=1, găsiți elementele simetrizabile și simetricele lor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Avem x∗e=xe+a(x+e)+a2=xx * e = xe + a(x+e) + a^2 = x. Rearanjăm: xe+ae+a2=x−axxe + ae + a^2 = x - ax, sau x(e+a−1)+ae+a2=0x(e + a - 1) + ae + a^2 = 0. Pentru ca această egalitate să fie adevărată pentru orice xx, coeficienții lui xx și termenul constant trebuie să fie zero: e+a−1=0e + a - 1 = 0 și ae+a2=0ae + a^2 = 0. Din prima ecuație, e=1−ae = 1 - a. Substituim în a doua: a(1−a)+a2=a−a2+a2=a=0a(1-a) + a^2 = a - a^2 + a^2 = a = 0. Deci a=0a=0, iar atunci e=1e=1. Verificăm: pentru a=0a=0, x∗y=xyx * y = xy, și 11 este element neutru. Așadar, există element neutru doar pentru a=0a=0.
25 puncte
Pentru a=1a=1, legea devine x∗y=xy+(x+y)+1x * y = xy + (x+y) + 1. Din step 1, pentru a=1a=1 nu există element neutru, deoarece condiția e+a−1=0e + a - 1 = 0 dă e=0e=0, dar ae+a2=1⋅0+12=1≠0ae + a^2 = 1 \cdot 0 + 1^2 = 1 \neq 0. Fără element neutru, nu se pot defini elemente simetrizabile. Prin urmare, pentru a=1a=1, nu există elemente simetrizabile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.