MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} se definește legea de compoziție xΔy=xy−x−y+2x \Delta y = xy - x - y + 2. a) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația xΔ3=5x \Delta 3 = 5. b) Studiați dacă operația Δ\Delta este comutativă și asociativă. c) Determinați elementele x∈Rx \in \mathbb{R} pentru care există simetric față de această lege și găsiți simetricul lor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Rezolvăm ecuația xΔ3=5x \Delta 3 = 5. Calculăm xΔ3=x⋅3−x−3+2=3x−x−1=2x−1x \Delta 3 = x \cdot 3 - x - 3 + 2 = 3x - x - 1 = 2x - 1. Ecuația 2x−1=52x - 1 = 5 dă 2x=62x = 6, deci x=3x = 3.
24 puncte
Studiem proprietățile. Comutativitatea: xΔy=xy−x−y+2x \Delta y = xy - x - y + 2 și yΔx=yx−y−x+2=xy−x−y+2y \Delta x = yx - y - x + 2 = xy - x - y + 2, deci xΔy=yΔxx \Delta y = y \Delta x, operația este comutativă. Asociativitatea: calculăm (xΔy)Δz=(xy−x−y+2)Δz=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xz−yz+z−xy+x+y(x \Delta y) \Delta z = (xy - x - y + 2) \Delta z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xz - yz + z - xy + x + y. xΔ(yΔz)=xΔ(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz+x−yz+y+zx \Delta (y \Delta z) = x \Delta (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz + x - yz + y + z. Comparând, (xΔy)Δz≠xΔ(yΔz)(x \Delta y) \Delta z \neq x \Delta (y \Delta z) în general (de exemplu, pentru x=1,y=2,z=3x=1, y=2, z=3: (1Δ2)Δ3=1(1 \Delta 2) \Delta 3 = 1 și 1Δ(2Δ3)=11 \Delta (2 \Delta 3) = 1, dar expresiile nu sunt identice, indicând non-asociativitate), deci operația nu este asociativă.
34 puncte
Determinăm elementele simetrizabile. Găsim elementul neutru ee din xΔe=xx \Delta e = x. Avem xe−x−e+2=xxe - x - e + 2 = x, deci xe−e=2x−2xe - e = 2x - 2, e(x−1)=2(x−1)e(x - 1) = 2(x - 1). Dacă x≠1x \neq 1, atunci e=2e = 2. Verificăm: 2Δx=2x−2−x+2=x2 \Delta x = 2x - 2 - x + 2 = x, deci 22 este element neutru. Pentru un element xx, simetricul x′x' satisface xΔx′=2x \Delta x' = 2. Avem xx′−x−x′+2=2xx' - x - x' + 2 = 2, deci xx′−x−x′=0xx' - x - x' = 0, x′(x−1)=xx'(x - 1) = x. Dacă x≠1x \neq 1, atunci x′=xx−1x' = \frac{x}{x - 1}. Dacă x=1x = 1, ecuația devine 1⋅x′−1−x′=01 \cdot x' - 1 - x' = 0, adică −1=0-1 = 0, imposibil, deci x=1x = 1 nu are simetric. Astfel, elementele x≠1x \neq 1 sunt simetrizabile cu simetricul xx−1\frac{x}{x - 1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.