MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* definită pe R\mathbb{R} prin a∗b=a+b1+aba * b = \frac{a + b}{1 + ab}, pentru a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} cu ab≠−1ab \neq -1. Verificați dacă ∗* este comutativă, asociativă, determinați elementul neutru și elementele simetrizabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: a∗b=a+b1+ab=b+a1+ba=b∗aa * b = \frac{a+b}{1+ab} = \frac{b+a}{1+ba} = b * a, deci legea este comutativă.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: calculăm (a∗b)∗c=a+b1+ab+c1+a+b1+ab⋅c=a+b+c+abc1+ab+ac+bc(a * b) * c = \frac{\frac{a+b}{1+ab} + c}{1 + \frac{a+b}{1+ab} \cdot c} = \frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc} și a∗(b∗c)=a+b+c1+bc1+a⋅b+c1+bc=a+b+c+abc1+ab+ac+bca * (b * c) = \frac{a + \frac{b+c}{1+bc}}{1 + a \cdot \frac{b+c}{1+bc}} = \frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}, deci (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c), asociativă.
32 puncte
Determinăm elementul neutru ee: din a∗e=aa * e = a obținem a+e1+ae=a⇒a+e=a(1+ae)⇒a+e=a+a2e⇒e(1−a2)=0\frac{a+e}{1+ae} = a \Rightarrow a+e = a(1+ae) \Rightarrow a+e = a + a^2 e \Rightarrow e(1 - a^2) = 0. Pentru a≠±1a \neq \pm 1, avem e=0e=0, iar verificând direct, a∗0=a+01+a⋅0=aa * 0 = \frac{a+0}{1+a \cdot 0} = a, deci e=0e=0.
43 puncte
Determinăm elementele simetrizabile: pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, simetricul a′a' satisface a∗a′=0⇒a+a′1+aa′=0⇒a+a′=0⇒a′=−aa * a' = 0 \Rightarrow \frac{a+a'}{1+aa'} = 0 \Rightarrow a+a' = 0 \Rightarrow a' = -a, cu condiția 1+a(−a)≠0⇒1−a2≠0⇒a≠±11+a(-a) \neq 0 \Rightarrow 1 - a^2 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm 1. Astfel, elementele simetrizabile sunt a∈R∖{−1,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\} cu simetricul −a-a.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.