MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}, se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y−xyx*y = x + y - xy pentru orice x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Să se studieze această lege: a) Să se arate că legea este comutativă și asociativă. b) Să se determine elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈Rx \in \mathbb{R}, să se determine inversul lui xx, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm comutativitatea: x∗y=x+y−xyx*y = x + y - xy și y∗x=y+x−yx=x+y−xyy*x = y + x - yx = x + y - xy, deci x∗y=y∗xx*y = y*x.\n
24 puncte
Verificăm asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x*y)*z = (x + y - xy)*z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz. Similar, x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx*(y*z) = x*(y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz, deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z).\n
32 puncte
Determinăm elementul neutru ee: Din x∗e=xx*e = x, avem x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x + e - xe = x \Rightarrow e(1-x) = 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0−x⋅0=xx*0 = x + 0 - x\cdot0 = x și 0∗x=0+x−0⋅x=x0*x = 0 + x - 0\cdot x = x.\n
41 punct
Pentru inversul lui xx, fie x′x' astfel încât x∗x′=e=0x*x' = e = 0. Atunci x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=−x1−xx + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1-x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1-x} pentru x≠1x \neq 1. Pentru x=1x=1, ecuația 1+x′−x′=01 + x' - x' = 0 dă 1=01=0, imposibil, deci nu există invers.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.