MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieFuncția de gradul al II-lea
Studiați legea de compoziție ∗:R×R→R* : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2. Verificați asociativitatea, determinați elementul neutru și simetricele elementelor. Rezolvați apoi ecuația x∗(3∗x)=1x * (3 * x) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = xyz - xy - xz - yz + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = xyz - xy - xz - yz + x + y + z, deci operația este asociativă.
22 puncte
Din x∗e=xx * e = x obținem xe−x−e+2=x⇒e(x−1)=2(x−1)xe - x - e + 2 = x \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Pentru x≠1x \neq 1, e=2e=2, iar pentru x=1x=1, verificând 1∗2=11*2=1, deci e=2e=2 este element neutru.
32 puncte
Pentru x≠1x \neq 1, simetricul x′x' satisface x∗x′=2⇒xx′−x−x′+2=2⇒x′=xx−1x * x' = 2 \Rightarrow xx' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}. Pentru x=1x=1, ecuația devine 1=21=2, imposibil, deci x=1x=1 nu are simetric.
43 puncte
Calculați 3∗x=3x−3−x+2=2x−13 * x = 3x - 3 - x + 2 = 2x - 1. Atunci x∗(2x−1)=x(2x−1)−x−(2x−1)+2=2x2−4x+3x * (2x - 1) = x(2x - 1) - x - (2x - 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 3. Setați egal cu 1: 2x2−4x+2=0⇒x2−2x+1=0⇒x=12x^2 - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1. Verificați că x=1x=1 satisface ecuația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.