MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{−1}M = \mathbb{R} \setminus \{-1\}, se definește operația x∗y=x+y+xyx \ast y = x + y + xy. Să se arate că: a) Operația ∗\ast este asociativă. b) Există element neutru pentru operația ∗\ast și să se determine acesta. c) Orice element x∈Mx \in M este simetrizabil și să se determine simetricul său. d) Să se rezolve ecuația x∗2=3x \ast 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x \ast y) \ast z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+xyzx \ast (y \ast z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + xy + xz + xyz, deci egal pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M.
22 puncte
Se caută elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx \ast e = x; din x+e+xe=xx + e + xe = x rezultă e(1+x)=0e(1+x)=0, și pentru x≠−1x \neq -1, e=0e=0; verific: x∗0=x+0+x⋅0=xx \ast 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x, deci e=0e=0.
33 puncte
Pentru x∈Mx \in M, se determină x′x' astfel încât x∗x′=0x \ast x' = 0; din x+x′+xx′=0x + x' + xx' = 0 rezultă x′(1+x)=−xx'(1+x) = -x, deci x′=−xx+1x' = \frac{-x}{x+1} și se verifică că x′∈Mx' \in M deoarece x≠−1x \neq -1.
43 puncte
Se rezolvă ecuația x∗2=3x \ast 2 = 3 folosind definiția: x+2+2x=3x + 2 + 2x = 3, deci 3x+2=33x + 2 = 3, x=13x = \frac{1}{3} și se verifică că 13∈M\frac{1}{3} \in M.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.