MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R\mathbb{R} se consideră legea de compoziție x∘y=x+y−xyx \circ y = x + y - xy. Să se studieze dacă această lege este comutativă, asociativă și să se determine elementele simetrizabile. Apoi, să se rezolve în R\mathbb{R} ecuația (x∘2)∘3=4(x \circ 2) \circ 3 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică comutativitatea: x∘y=x+y−xy=y+x−yx=y∘xx \circ y = x + y - xy = y + x - yx = y \circ x, deci legea este comutativă.
23 puncte
Se verifică asociativitatea: (x∘y)∘z=(x+y−xy)∘z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \circ y) \circ z = (x + y - xy) \circ z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz; x∘(y∘z)=x∘(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyz=x+y+z−xy−xz−yz+xyzx \circ (y \circ z) = x \circ (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz + xyz, deci legea este asociativă.
32 puncte
Se determină elementul neutru ee: din x∘e=xx \circ e = x rezultă x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x + e - xe = x \Rightarrow e(1 - x) = 0; pentru x≠1x \neq 1, e=0e = 0, iar pentru x=1x = 1, 1∘e=1+e−e=11 \circ e = 1 + e - e = 1, deci e=0e = 0 funcționează pentru toți xx; se verifică că 00 este element neutru: x∘0=x+0−x⋅0=xx \circ 0 = x + 0 - x\cdot 0 = x.
42 puncte
Se găsesc elementele simetrizabile: un element xx este simetrizabil dacă există x′x' cu x∘x′=0x \circ x' = 0; atunci x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=−x1−xx + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1 - x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1 - x} pentru x≠1x \neq 1; deci elementele simetrizabile sunt x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, cu simetricul x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}.
51 punct
Se rezolvă ecuația (x∘2)∘3=4(x \circ 2) \circ 3 = 4: se calculează x∘2=x+2−2x=2−xx \circ 2 = x + 2 - 2x = 2 - x; apoi (2−x)∘3=(2−x)+3−(2−x)⋅3=5−x−6+3x=2x−1(2 - x) \circ 3 = (2 - x) + 3 - (2 - x)\cdot 3 = 5 - x - 6 + 3x = 2x - 1; ecuația devine 2x−1=4⇒2x=5⇒x=522x - 1 = 4 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}; se verifică: 52∘2=52+2−52⋅2=−12\frac{5}{2} \circ 2 = \frac{5}{2} + 2 - \frac{5}{2}\cdot 2 = -\frac{1}{2}, și −12∘3=−12+3−(−12)⋅3=4-\frac{1}{2} \circ 3 = -\frac{1}{2} + 3 - (-\frac{1}{2})\cdot 3 = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.