MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea M={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}M = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și operația ⊗\otimes definită prin (a,b)⊗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \otimes (c,d) = (ac, ad + b). Să se arate că (M,⊗)(M, \otimes) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: Pentru (a,b),(c,d)∈M(a,b), (c,d) \in M, avem (a,b)⊗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \otimes (c,d) = (ac, ad + b). Deoarece a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, atunci ac≠0ac \neq 0, deci (ac,ad+b)∈M(ac, ad + b) \in M.\n
23 puncte
Verificăm asociativitatea: ((a,b)⊗(c,d))⊗(e,f)=(ac,ad+b)⊗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b) \otimes (c,d)) \otimes (e,f) = (ac, ad + b) \otimes (e,f) = (ace, acf + ad + b). Pe de altă parte, (a,b)⊗((c,d)⊗(e,f))=(a,b)⊗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b) \otimes ((c,d) \otimes (e,f)) = (a,b) \otimes (ce, cf + d) = (ace, a(cf + d) + b) = (ace, acf + ad + b). Deci ((a,b)⊗(c,d))⊗(e,f)=(a,b)⊗((c,d)⊗(e,f))((a,b) \otimes (c,d)) \otimes (e,f) = (a,b) \otimes ((c,d) \otimes (e,f)).\n
32 puncte
Determinăm elementul neutru: Fie (e1,e2)∈M(e_1, e_2) \in M astfel încât (a,b)⊗(e1,e2)=(a,b)(a,b) \otimes (e_1, e_2) = (a,b). Atunci (ae1,ae2+b)=(a,b)(ae_1, ae_2 + b) = (a,b), deci ae1=a⇒e1=1ae_1 = a \Rightarrow e_1 = 1 (pentru a≠0a \neq 0) și ae2+b=b⇒ae2=0⇒e2=0ae_2 + b = b \Rightarrow ae_2 = 0 \Rightarrow e_2 = 0. Verificăm: (1,0)⊗(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0) \otimes (a,b) = (1\cdot a, 1\cdot b + 0) = (a,b), deci elementul neutru este (1,0)(1,0).\n
42 puncte
Determinăm inversul lui (a,b)(a,b): Fie (a′,b′)(a',b') astfel încât (a,b)⊗(a′,b′)=(1,0)(a,b) \otimes (a',b') = (1,0). Atunci (aa′,ab′+b)=(1,0)(aa', ab' + b) = (1,0), deci aa′=1⇒a′=1aaa' = 1 \Rightarrow a' = \frac{1}{a} și ab′+b=0⇒b′=−baab' + b = 0 \Rightarrow b' = -\frac{b}{a}. Verificăm: (a,b)⊗(1a,−ba)=(a⋅1a,a⋅(−ba)+b)=(1,−b+b)=(1,0)(a,b) \otimes \left(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}\right) = \left(a\cdot\frac{1}{a}, a\cdot\left(-\frac{b}{a}\right) + b\right) = (1, -b + b) = (1,0).\n
51 punct
Concluzie: Toate axiomele grupului (închidere, asociativitate, element neutru, invers) sunt verificate, deci (M,⊗)(M, \otimes) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.