MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x⊙y=x2+y2x \odot y = \sqrt{x^2 + y^2}. Calculați (1⊙2)⊙3(1 \odot 2) \odot 3 și 1⊙(2⊙3)1 \odot (2 \odot 3). Verificați dacă legea este asociativă. Determinați elementul neutru, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați 1⊙2=12+22=51 \odot 2 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.\n
22 puncte
Calculați (1⊙2)⊙3=5⊙3=(5)2+32=5+9=14(1 \odot 2) \odot 3 = \sqrt{5} \odot 3 = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 3^2} = \sqrt{5 + 9} = \sqrt{14}.\n
32 puncte
Calculați 2⊙3=22+32=132 \odot 3 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}, apoi 1⊙(2⊙3)=1⊙13=12+(13)2=1+13=141 \odot (2 \odot 3) = 1 \odot \sqrt{13} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{1 + 13} = \sqrt{14}.\n
42 puncte
Comparați rezultatele: (1⊙2)⊙3=14(1 \odot 2) \odot 3 = \sqrt{14} și 1⊙(2⊙3)=141 \odot (2 \odot 3) = \sqrt{14}, deci pentru aceste valori se verifică. Pentru a demonstra asociativitatea în general, observați că (x2+y2)2+z2=x2+y2+z2\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} și x2+(y2+z2)2=x2+y2+z2\sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2})^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, egal pentru orice x,y,z∈Rx,y,z \in \mathbb{R}. Așadar, legea este asociativă.\n
52 puncte
Căutați elementul neutru ee rezolvând x⊙e=xx \odot e = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Obțineți x2+e2=x⇒x2+e2=x2⇒e2=0⇒e=0\sqrt{x^2 + e^2} = x \Rightarrow x^2 + e^2 = x^2 \Rightarrow e^2 = 0 \Rightarrow e = 0. Verificați: x⊙0=x2+02=∣x∣x \odot 0 = \sqrt{x^2 + 0^2} = |x|, care este egal cu xx doar pentru x≥0x \geq 0. Prin urmare, nu există element neutru pe întreaga mulțime R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.