MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ⋆\star pe mulțimea numerelor reale definită prin x⋆y=x+y−xyx \star y = x + y - xy pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Studiați dacă operația este comutativă, asociativă, are element neutru și dacă fiecare element are invers.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea comutativității. x⋆y=x+y−xyx \star y = x+y-xy și y⋆x=y+x−yxy \star x = y+x-yx, care sunt egale, deci operația este comutativă.
23 puncte
Verificarea asociativității. Se calculează (x⋆y)⋆z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \star y) \star z = (x+y-xy) + z - (x+y-xy)z = x+y+z - xy - xz - yz + xyz și x⋆(y⋆z)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx \star (y \star z) = x + (y+z-yz) - x(y+z-yz) = x+y+z - yz - xy - xz + xyz. Se observă că ambele expresii sunt identice, deci operația este asociativă.
32 puncte
Găsirea elementului neutru. Se rezolvă x⋆e=xx \star e = x pentru orice xx. Adică x+e−xe=xx+e-xe = x, de unde e(1−x)=0e(1-x)=0 pentru toți xx, deci e=0e=0. Verificare: x⋆0=x+0−x⋅0=xx \star 0 = x+0-x\cdot0 = x.
43 puncte
Găsirea inverselor. Pentru fiecare xx, se caută x′x' astfel încât x⋆x′=0x \star x' = 0. Adică x+x′−xx′=0x + x' - xx' = 0. Rezolvând, x′(1−x)=−xx'(1-x) = -x, deci dacă x≠1x \neq 1, atunci x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}. Pentru x=1x=1, ecuația devine 1+x′−1⋅x′=1=01 + x' - 1\cdot x' = 1 = 0, imposibil, deci elementul 11 nu are invers. Deci, toate elementele x≠1x \neq 1 au invers x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.