MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Pe mulțimea M={x∈R∣x≠−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} se definește legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=xy+x+yx \circ y = xy + x + y. Demonstrați că (M,∘)(M, \circ) este monoid, determinați elementele simetrizabile și rezolvați sistemul {x∘y=5y∘z=7z∘x=3\begin{cases} x \circ y = 5 \\ y \circ z = 7 \\ z \circ x = 3 \end{cases} pentru x,y,z∈Mx, y, z \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a demonstra că (M,∘)(M, \circ) este monoid, arătăm asociativitatea și existența elementului neutru. Asociativitatea: (x∘y)∘z=(xy+x+y)∘z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x \circ y) \circ z = (xy + x + y) \circ z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∘(y∘z)=x∘(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx \circ (y \circ z) = x \circ (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Expresiile sunt egale, deci asociativă. Element neutru: Căutăm ee cu x∘e=xx \circ e = x. Din x∘e=xe+x+e=xx \circ e = xe + x + e = x, rezultă xe+e=0xe + e = 0, deci e(x+1)=0e(x + 1) = 0. Pentru x≠−1x \neq -1, avem e=0e = 0. Verificăm: x∘0=x⋅0+x+0=xx \circ 0 = x \cdot 0 + x + 0 = x și 0∘x=0⋅x+0+x=x0 \circ x = 0 \cdot x + 0 + x = x, deci 00 este element neutru și 0∈M0 \in M. Așadar, (M,∘)(M, \circ) este monoid.
23 puncte
Un element x∈Mx \in M este simetrizabil dacă există x′∈Mx' \in M cu x∘x′=0x \circ x' = 0. Din x∘x′=xx′+x+x′=0x \circ x' = xx' + x + x' = 0, obținem x′(x+1)=−xx'(x + 1) = -x. Pentru x≠−1x \neq -1, avem x′=−xx+1x' = \frac{-x}{x + 1}. Verificăm că x′≠−1x' \neq -1: dacă −xx+1=−1\frac{-x}{x + 1} = -1, atunci −x=−x−1-x = -x -1, adică 0=−10 = -1, fals. Deci toate x∈Mx \in M sunt simetrizabile, cu simetricul x′=−xx+1x' = \frac{-x}{x + 1}.
33 puncte
Rezolvăm sistemul. Observăm că x∘y=xy+x+y=(x+1)(y+1)−1x \circ y = xy + x + y = (x+1)(y+1) - 1, dar direct: din x∘y=5x \circ y = 5, y∘z=7y \circ z = 7, z∘x=3z \circ x = 3, avem (x+1)(y+1)=6(x+1)(y+1) = 6, (y+1)(z+1)=8(y+1)(z+1) = 8, (z+1)(x+1)=4(z+1)(x+1) = 4. Înmulțind: [(x+1)(y+1)(z+1)]2=192[(x+1)(y+1)(z+1)]^2 = 192, deci (x+1)(y+1)(z+1)=±83(x+1)(y+1)(z+1) = \pm 8\sqrt{3}. Din (x+1)(y+1)=6(x+1)(y+1) = 6, avem y+1=6x+1y+1 = \frac{6}{x+1}. Din (z+1)(x+1)=4(z+1)(x+1) = 4, avem z+1=4x+1z+1 = \frac{4}{x+1}. Substituim în (y+1)(z+1)=8(y+1)(z+1) = 8: 6x+1⋅4x+1=8\frac{6}{x+1} \cdot \frac{4}{x+1} = 8, deci 24(x+1)2=8\frac{24}{(x+1)^2} = 8, adică (x+1)2=3(x+1)^2 = 3. Atunci x+1=±3x+1 = \pm \sqrt{3}, deci x=−1±3x = -1 \pm \sqrt{3} (ambele în MM). Pentru x=−1+3x = -1 + \sqrt{3}, avem y+1=63=23y+1 = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}, deci y=−1+23y = -1 + 2\sqrt{3}, și z+1=43=433z+1 = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}, deci z=−1+433z = -1 + \frac{4\sqrt{3}}{3}. Pentru x=−1−3x = -1 - \sqrt{3}, avem y=−1−23y = -1 - 2\sqrt{3} și z=−1−433z = -1 - \frac{4\sqrt{3}}{3}. Verificând, ambele triplete satisfac sistemul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.