MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} definită prin a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab. Determinați elementul neutru al acestei legi, rezolvați ecuația x∗(x∗2)=3x * (x * 2) = 3 și demonstrați că legea este asociativă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea elementului neutru. Se rezolvă ecuația a∗e=aa * e = a pentru orice aa, adică a+e+ae=aa + e + ae = a, de unde e(1+a)=0e(1+a) = 0 pentru toți aa, deci e=0e = 0. Verificare: a∗0=a+0+a⋅0=aa * 0 = a + 0 + a \cdot 0 = a.
24 puncte
Rezolvarea ecuației x∗(x∗2)=3x * (x * 2) = 3. Se calculează x∗2=x+2+2x=3x+2x * 2 = x + 2 + 2x = 3x + 2. Apoi x∗(3x+2)=x+(3x+2)+x(3x+2)=4x+2+3x2+2x=3x2+6x+2x * (3x + 2) = x + (3x + 2) + x(3x + 2) = 4x + 2 + 3x^2 + 2x = 3x^2 + 6x + 2. Ecuația devine 3x2+6x+2=33x^2 + 6x + 2 = 3, adică 3x2+6x−1=03x^2 + 6x -1 = 0. Rezolvând, x=−6±36+126=−6±486=−6±436=−1±233x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.
33 puncte
Demonstrarea asociativității. Se verifică că (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c). Calcul: (a∗b)∗c=(a+b+ab)∗c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+ab+c+ac+bc+abc(a * b) * c = (a+b+ab) * c = (a+b+ab) + c + (a+b+ab)c = a+b+ab+c+ac+bc+abc. a∗(b∗c)=a∗(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abca * (b * c) = a * (b+c+bc) = a + (b+c+bc) + a(b+c+bc) = a+b+c+bc+ab+ac+abc. Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.