MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} și legea de compoziție definită prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2, pentru orice x,y∈Mx, y \in M. a) Demonstrați că operația ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al acestei legi și simetrizabilul oricărui element x∈Mx \in M. c) Rezolvați ecuația (x∗x)∗2=3(x * x) * 2 = 3 în mulțimea MM.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M, calculăm (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Similar, x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Cele două expresii sunt egale, deci ∗* este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Mx \in M. Din x∗e=xe−x−e+2=xx * e = xe - x - e + 2 = x, obținem xe−e=2x−2xe - e = 2x - 2, deci e(x−1)=2(x−1)e(x - 1) = 2(x - 1). Deoarece x≠1x \neq 1, rezultă e=2e = 2. Verificăm că 2∗x=2x−2−x+2=x2 * x = 2x - 2 - x + 2 = x, deci 22 este element neutru.
32 puncte
Pentru un element x∈Mx \in M, simetricul x′x' satisface x∗x′=2x * x' = 2. Atunci xx′−x−x′+2=2xx' - x - x' + 2 = 2, deci xx′−x−x′=0xx' - x - x' = 0, adică (x−1)(x′−1)=1(x - 1)(x' - 1) = 1. Astfel, x′=1x−1+1=xx−1x' = \frac{1}{x - 1} + 1 = \frac{x}{x - 1}, care există pentru x≠1x \neq 1.
42 puncte
Rezolvăm ecuația (x∗x)∗2=3(x * x) * 2 = 3. Mai întâi, x∗x=x2−2x+2x * x = x^2 - 2x + 2. Atunci (x∗x)∗2=(x2−2x+2)∗2=2(x2−2x+2)−(x2−2x+2)−2+2=2x2−4x+4−x2+2x−2=x2−2x+2(x * x) * 2 = (x^2 - 2x + 2) * 2 = 2(x^2 - 2x + 2) - (x^2 - 2x + 2) - 2 + 2 = 2x^2 - 4x + 4 - x^2 + 2x - 2 = x^2 - 2x + 2. Ecuația devine x2−2x+2=3x^2 - 2x + 2 = 3, adică x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0, cu soluțiile x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}. Deoarece 1±2≠11 \pm \sqrt{2} \neq 1, acestea sunt în MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.