MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}M = \{(a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0\} se definește legea de compoziție ∙\bullet prin (a,b)∙(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \bullet (c,d) = (ac, ad + b). a) Arătați că ∙\bullet este lege de compoziție internă pe MM. b) Verificați asociativitatea. c) Determinați elementul neutru. d) Găsiți simetricul fiecărui element (a,b)∈M(a,b) \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Internă: Pentru (a,b),(c,d)∈M(a,b), (c,d) \in M, avem a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, deci ac≠0ac \neq 0. Atunci (a,b)∙(c,d)=(ac,ad+b)∈M(a,b) \bullet (c,d) = (ac, ad+b) \in M, deoarece ac≠0ac \neq 0.
23 puncte
Asociativitate: Calculăm ((a,b)∙(c,d))∙(e,f)=(ac,ad+b)∙(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b) \bullet (c,d)) \bullet (e,f) = (ac, ad+b) \bullet (e,f) = (ace, acf + ad + b). (a,b)∙((c,d)∙(e,f))=(a,b)∙(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b) \bullet ((c,d) \bullet (e,f)) = (a,b) \bullet (ce, cf+d) = (ace, a(cf+d) + b) = (ace, acf + ad + b). Deci ((a,b)∙(c,d))∙(e,f)=(a,b)∙((c,d)∙(e,f))((a,b) \bullet (c,d)) \bullet (e,f) = (a,b) \bullet ((c,d) \bullet (e,f)), asociativitate verificată.
32 puncte
Element neutru: Căutăm (e1,e2)∈M(e_1, e_2) \in M astfel încât (a,b)∙(e1,e2)=(a,b)(a,b) \bullet (e_1,e_2) = (a,b). Aceasta implică (ae1,ae2+b)=(a,b)(ae_1, ae_2 + b) = (a,b), deci ae1=aae_1 = a și ae2+b=bae_2 + b = b. Din ae1=aae_1 = a și a≠0a \neq 0, obținem e1=1e_1 = 1. Din ae2+b=bae_2 + b = b, obținem ae2=0ae_2 = 0, deci e2=0e_2 = 0. Verificăm: (1,0)∙(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0) \bullet (a,b) = (1 \cdot a, 1 \cdot b + 0) = (a,b).
43 puncte
Simetricul: Pentru (a,b)∈M(a,b) \in M, căutăm (a′,b′)(a',b') astfel încât (a,b)∙(a′,b′)=(1,0)(a,b) \bullet (a',b') = (1,0). Aceasta implică (aa′,ab′+b)=(1,0)(aa', ab' + b) = (1,0), deci aa′=1aa' = 1 și ab′+b=0ab' + b = 0. Din aa′=1aa' = 1, avem a′=1aa' = \frac{1}{a} (posibil deoarece a≠0a \neq 0). Din ab′+b=0ab' + b = 0, avem b′=−bab' = -\frac{b}{a}. Deci simetricul este (1a,−ba)(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.