MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Pe mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. a) Să se demonstreze că (G,∗)(G, *) este grup abelian. b) Să se determine simetricul elementului 22 în acest grup. c) Să se rezolve în GG sistemul de ecuații: {x∗y=3x∗z=5y∗z=7\begin{cases} x * y = 3 \\ x * z = 5 \\ y * z = 7 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se demonstrează că (G,∗)(G, *) este grup abelian.
  • Asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x*y)*z = (x+y+xy)*z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+y+z+yz+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx*(y*z) = x*(y+z+yz) = x+y+z+yz+x(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz, deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z).
  • Comutativitatea: x∗y=x+y+xy=y+x+yx=y∗xx*y = x+y+xy = y+x+yx = y*x.
  • Elementul neutru: Căutăm ee astfel încât x∗e=xx*e=x. Din x+e+xe=xx+e+xe=x, rezultă e(1+x)=0e(1+x)=0, deci e=0e=0 pentru orice xx, așadar e=0e=0 este elementul neutru.
  • Simetricul: Pentru x∈Gx \in G, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=0x*x'=0. Avem x+x′+xx′=0x+x'+xx'=0, deci x′(1+x)=−xx'(1+x) = -x și x′=−x1+xx' = -\frac{x}{1+x}, care există pentru că x≠−1x \neq -1.
22 puncte
Simetricul lui 22 se calculează ca 2′=−21+2=−232' = -\frac{2}{1+2} = -\frac{2}{3}.
34 puncte
Se rezolvă sistemul. Observăm că x∗y=(1+x)(1+y)−1x*y = (1+x)(1+y)-1. Notăm a=1+xa=1+x, b=1+yb=1+y, c=1+zc=1+z. Sistemul devine: {ab=4ac=6bc=8\begin{cases} ab = 4 \\ ac = 6 \\ bc = 8 \end{cases}. Din ab=4ab=4 și ac=6ac=6, împărțim: acab=64\frac{ac}{ab} = \frac{6}{4}, deci cb=32\frac{c}{b} = \frac{3}{2} și c=3b2c = \frac{3b}{2}. Înlocuim în bc=8bc=8: b⋅3b2=8⇒3b22=8⇒b2=163⇒b=±43b \cdot \frac{3b}{2} = 8 \Rightarrow \frac{3b^2}{2} = 8 \Rightarrow b^2 = \frac{16}{3} \Rightarrow b = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}. Pentru b=43b = \frac{4}{\sqrt{3}}, avem c=32⋅43=63=23c = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}, iar din ab=4ab=4 rezultă a=4b=3a = \frac{4}{b} = \sqrt{3}. Atunci x=a−1=3−1x = a-1 = \sqrt{3}-1, y=b−1=43−1y = b-1 = \frac{4}{\sqrt{3}}-1, z=c−1=23−1z = c-1 = 2\sqrt{3}-1, toate în GG deoarece diferă de −1-1. Pentru b=−43b = -\frac{4}{\sqrt{3}}, avem c=−23c = -2\sqrt{3} și a=−3a = -\sqrt{3}, dar atunci x,y,zx, y, z ar putea nu fi în GG dacă anulează numitorul; verificăm: x=−3−1≠−1x = -\sqrt{3}-1 \neq -1, y=−43−1≠−1y = -\frac{4}{\sqrt{3}}-1 \neq -1, z=−23−1≠−1z = -2\sqrt{3}-1 \neq -1, deci sunt soluții valabile. Soluțiile sistemului sunt perechile corespunzătoare ambelor cazuri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.