MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Arătați că: a) Operația ∗* este asociativă. b) Operația ∗* are element neutru. Determinați acest element. c) Determinați pentru care elemente a∈Ra \in \mathbb{R} există invers față de operația ∗*. d) Rezolvați ecuația x∗2=3x * 2 = 3 în R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru a demonstra asociativitatea, calculăm (a∗b)∗c(a * b) * c și a∗(b∗c)a * (b * c) și arătăm că sunt egale. (a∗b)∗c=(a+b−ab)∗c=(a+b−ab)+c−(a+b−ab)c=a+b+c−ab−ac−bc+abc(a * b) * c = (a + b - ab) * c = (a + b - ab) + c - (a + b - ab)c = a + b + c - ab - ac - bc + abc. Similar, a∗(b∗c)=a∗(b+c−bc)=a+(b+c−bc)−a(b+c−bc)=a+b+c−bc−ab−ac+abca * (b * c) = a * (b + c - bc) = a + (b + c - bc) - a(b + c - bc) = a + b + c - bc - ab - ac + abc. Cele două expresii sunt identice, deci operația este asociativă.
22 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice aa. Din a∗e=a+e−ae=aa * e = a + e - ae = a, obținem e(1−a)=0e(1 - a) = 0 pentru orice aa, deci e=0e = 0. Verificăm: a∗0=a+0−a⋅0=aa * 0 = a + 0 - a \cdot 0 = a, și 0∗a=0+a−0⋅a=a0 * a = 0 + a - 0 \cdot a = a, deci elementul neutru este 00.
33 puncte
Un element aa are invers a′a' dacă a∗a′=0a * a' = 0. Din a∗a′=a+a′−aa′=0a * a' = a + a' - aa' = 0, rezolvăm pentru a′a': a′(1−a)=−aa'(1 - a) = -a, deci a′=−a1−aa' = \frac{-a}{1 - a}, pentru a≠1a \neq 1. Pentru a=1a = 1, ecuația devine 1+a′−a′=1=01 + a' - a' = 1 = 0, imposibil, deci a=1a = 1 nu are invers.
42 puncte
Rezolvăm ecuația x∗2=3x * 2 = 3. Folosind definiția: x∗2=x+2−2x=2−x=3x * 2 = x + 2 - 2x = 2 - x = 3, deci 2−x=32 - x = 3, adică x=−1x = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.