MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul I
Fie F={f:R→R∣f este bijectiva˘}F = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f \text{ este bijectivă} \} și operația ∘\circ de compunere a funcțiilor. Arătați că: a) (F,∘)(F, \circ) este un grup. b) Determinați dacă operația ∘\circ este comutativă. c) Considerați submulțimea G={f∈F∣f(x)=ax+b,a≠0}G = \{ f \in F \mid f(x) = ax + b, a \neq 0 \}. Verificați dacă GG este subgrup al lui FF.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a arăta că (F,∘)(F, \circ) este un grup, verificăm proprietățile. Operația ∘\circ este internă: compunerea a două funcții bijective este bijectivă. Asociativitatea este satisfăcută de compunerea funcțiilor. Elementul neutru este funcția identică id(x)=xid(x) = x, deoarece f∘id=id∘f=ff \circ id = id \circ f = f pentru orice f∈Ff \in F. Orice funcție bijectivă ff are inversă f−1f^{-1} astfel încât f∘f−1=f−1∘f=idf \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id.
22 puncte
Operația ∘\circ nu este comutativă în general. Contraexemplu: fie f(x)=x+1f(x) = x+1 și g(x)=2xg(x) = 2x. Atunci f∘g(x)=2x+1f \circ g (x) = 2x+1 și g∘f(x)=2(x+1)=2x+2g \circ f (x) = 2(x+1) = 2x+2, care sunt diferite.
34 puncte
Verificăm dacă GG este subgrup al lui FF. GG este nevidă, de exemplu f(x)=x∈Gf(x)=x \in G. Pentru f,g∈Gf,g \in G cu f(x)=ax+bf(x)=ax+b și g(x)=cx+dg(x)=cx+d, a,c≠0a,c \neq 0, avem f∘g(x)=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)f \circ g (x) = a(cx+d)+b = acx + (ad+b), cu ac≠0ac \neq 0, deci f∘g∈Gf \circ g \in G. Inversa lui f(x)=ax+bf(x)=ax+b este f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}, care este de forma 1ax−ba\frac{1}{a}x - \frac{b}{a}, cu 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0, deci f−1∈Gf^{-1} \in G. Astfel, GG este subgrup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.