MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea G=R2G = \mathbb{R}^2 se definește operația ∘\circ prin (a,b)∘(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \circ (c,d) = (a+c, b+d + ac) pentru orice (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G. Studiați următoarele proprietăți ale operației ∘\circ: a) Este operația ∘\circ comutativă? b) Este operația ∘\circ asociativă? c) Determinați elementul neutru al operației ∘\circ, dacă există. d) Pentru un element (a,b)∈G(a,b) \in G, determinați inversul său față de operația ∘\circ, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Comutativitatea: Verificăm dacă (a,b)∘(c,d)=(c,d)∘(a,b)(a,b) \circ (c,d) = (c,d) \circ (a,b). Avem (a,b)∘(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \circ (c,d) = (a+c, b+d+ac) și (c,d)∘(a,b)=(c+a,d+b+ca)(c,d) \circ (a,b) = (c+a, d+b+ca). Deoarece adunarea este comutativă, (a+c,b+d+ac)=(c+a,d+b+ca)(a+c, b+d+ac) = (c+a, d+b+ca), deci operația este comutativă.
24 puncte
Asociativitatea: Calculăm ((a,b)∘(c,d))∘(e,f)=(a+c,b+d+ac)∘(e,f)=(a+c+e,b+d+ac+f+(a+c)e)=(a+c+e,b+d+f+ac+ae+ce)((a,b) \circ (c,d)) \circ (e,f) = (a+c, b+d+ac) \circ (e,f) = (a+c+e, b+d+ac+f+(a+c)e) = (a+c+e, b+d+f+ac+ae+ce). Calculăm (a,b)∘((c,d)∘(e,f))=(a,b)∘(c+e,d+f+ce)=(a+c+e,b+d+f+ce+ac)(a,b) \circ ((c,d) \circ (e,f)) = (a,b) \circ (c+e, d+f+ce) = (a+c+e, b+d+f+ce+ac). Comparând, observăm că termenii diferă prin aeae, care nu este întotdeauna zero, de exemplu pentru a=1,e=1a=1, e=1. Așadar, operația nu este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: Căutăm (e1,e2)∈G(e_1, e_2) \in G astfel încât (a,b)∘(e1,e2)=(a,b)(a,b) \circ (e_1,e_2) = (a,b) pentru orice (a,b)(a,b). Rezolvăm sistemul {a+e1=ab+e2+ae1=b\begin{cases} a+e_1 = a \\ b+e_2+ae_1 = b \end{cases}. Din prima ecuație, e1=0e_1=0, iar din a doua, e2=0e_2=0. Deci elementul neutru este (0,0)(0,0).
42 puncte
Inversul: Pentru (a,b)∈G(a,b) \in G, căutăm (a′,b′)(a',b') astfel încât (a,b)∘(a′,b′)=(0,0)(a,b) \circ (a',b') = (0,0). Rezolvăm sistemul {a+a′=0b+b′+aa′=0\begin{cases} a+a' = 0 \\ b+b'+aa' = 0 \end{cases}. Din prima, a′=−aa' = -a. Înlocuind în a doua, b+b′+a(−a)=0b+b'+a(-a)=0, deci b′=−b+a2b' = -b + a^2. Așadar, inversul este (−a,−b+a2)(-a, -b+a^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.