MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriEcuații iraționale
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∘y=x2+y2x \circ y = \sqrt{x^2 + y^2}, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. a) Studiați comutativitatea și asociativitatea acestei legi. b) Determinați dacă există element neutru. c) Dacă a∘b=5a \circ b = 5 și a∘(b∘c)=13a \circ (b \circ c) = 13, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, aflați toate tripletele (a,b,c)(a, b, c) care satisfac aceste condiții.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Comutativitatea: pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, x∘y=x2+y2=y2+x2=y∘xx \circ y = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{y^2 + x^2} = y \circ x, deci legea este comutativă.
23 puncte
Asociativitatea: verificăm dacă (x∘y)∘z=x∘(y∘z)(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z). Avem (x∘y)∘z=x2+y2∘z=(x2+y2)2+z2=x2+y2+z2(x \circ y) \circ z = \sqrt{x^2 + y^2} \circ z = \sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Similar, x∘(y∘z)=x∘y2+z2=x2+(y2+z2)2=x2+y2+z2x \circ (y \circ z) = x \circ \sqrt{y^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2})^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Cele două sunt egale, deci legea este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Din x∘e=x2+e2=xx \circ e = \sqrt{x^2 + e^2} = x, obținem x2+e2=x2x^2 + e^2 = x^2, deci e2=0e^2 = 0 și e=0e = 0. Verificăm: x∘0=x2+02=∣x∣x \circ 0 = \sqrt{x^2 + 0^2} = |x|, care nu este egal cu xx pentru x<0x < 0. Așadar, nu există element neutru (deoarece x∘0=∣x∣≠xx \circ 0 = |x| \neq x dacă x<0x < 0).
43 puncte
Din a∘b=5a \circ b = 5, avem a2+b2=5\sqrt{a^2 + b^2} = 5, deci a2+b2=25a^2 + b^2 = 25. Din a∘(b∘c)=13a \circ (b \circ c) = 13, folosind asociativitatea, a∘(b∘c)=(a∘b)∘c=5∘c=52+c2=25+c2=13a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c = 5 \circ c = \sqrt{5^2 + c^2} = \sqrt{25 + c^2} = 13. Astfel, 25+c2=16925 + c^2 = 169, deci c2=144c^2 = 144 și c=±12c = \pm 12. Din a2+b2=25a^2 + b^2 = 25, tripletele (a,b,c)(a, b, c) sunt de forma (a,b,±12)(a, b, \pm 12) cu a2+b2=25a^2 + b^2 = 25. De exemplu, soluții posibile: (3,4,12)(3, 4, 12), (4,3,12)(4, 3, 12), (0,5,12)(0, 5, 12), (5,0,12)(5, 0, 12), și similare cu semne schimbate și c=−12c = -12 (deoarece cc apare la pătrat în ecuații). Toate tripletele care satisfac a2+b2=25a^2 + b^2 = 25 și c=±12c = \pm 12 sunt soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.