MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} se definește operația x⊗y=xyx+yx \otimes y = \frac{xy}{x+y}. Demonstrați că ⊗\otimes este o lege de compoziție internă și că este asociativă. Apoi, rezolvați ecuația x⊗(x⊗4)=2x \otimes (x \otimes 4) = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arăt că operația este internă pe MM: Pentru x,y>0x, y > 0, avem x+y>0x+y > 0 și xy>0xy > 0, deci xyx+y>0\frac{xy}{x+y} > 0; astfel, x⊗y∈Mx \otimes y \in M.
24 puncte
Demonstrez asociativitatea: Calcul (x⊗y)⊗z=(xyx+y)⊗z=xyx+y⋅zxyx+y+z=xyzxy+xz+yz(x \otimes y) \otimes z = \left( \frac{xy}{x+y} \right) \otimes z = \frac{ \frac{xy}{x+y} \cdot z }{ \frac{xy}{x+y} + z } = \frac{xyz}{xy + xz + yz}; x⊗(y⊗z)=x⊗(yzy+z)=x⋅yzy+zx+yzy+z=xyzxy+xz+yzx \otimes (y \otimes z) = x \otimes \left( \frac{yz}{y+z} \right) = \frac{ x \cdot \frac{yz}{y+z} }{ x + \frac{yz}{y+z} } = \frac{xyz}{xy + xz + yz}. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
33 puncte
Rezolv ecuația x⊗(x⊗4)=2x \otimes (x \otimes 4) = 2: Mai întâi, x⊗4=4xx+4x \otimes 4 = \frac{4x}{x+4}. Atunci, x⊗(4xx+4)=x⋅4xx+4x+4xx+4=4x2x+4⋅x+4x2+4x+4x=4x2x2+8x=4xx+8x \otimes \left( \frac{4x}{x+4} \right) = \frac{ x \cdot \frac{4x}{x+4} }{ x + \frac{4x}{x+4} } = \frac{4x^2}{x+4} \cdot \frac{x+4}{x^2 + 4x + 4x} = \frac{4x^2}{x^2 + 8x} = \frac{4x}{x+8}. Setăm egal cu 2: 4xx+8=2\frac{4x}{x+8} = 2, deci 4x=2x+164x = 2x + 16, 2x=162x = 16, x=8x = 8. Verificăm x>0x > 0, deci soluția este x=8x = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.