Fie mulțimea M = (a, b) | a, b ∈ ℝ, a ≠ 0 și operația b... — Rezolvare

MediuLegi de compozițieGrupuri

Fie mulțimea M = { (a, b) | a, b \in ℝ, a \neq 0 } și operația binară \otimes definită prin (a, b) \otimes (c, d) = (ac, ad + b). Demonstrați că operația \otimes este asociativă, are element neutru și fiecare element din M are un invers. Verificați dacă (M, \otimes) formează un grup.

10 puncte · 4 pași

13 puncte

Demonstrație pentru asociativitate: Fie (a,b), (c,d), (e,f) \in M. ((a,b) \otimes (c,d)) \otimes (e,f) = (ac, ad+b) \otimes (e,f) = (ace, acf + ad + b). (a,b) \otimes ((c,d) \otimes (e,f)) = (a,b) \otimes (ce, cf+d) = (ace, a(cf+d) + b) = (ace, acf + ad + b). Deci ((a,b) \otimes (c,d)) \otimes (e,f) = (a,b) \otimes ((c,d) \otimes (e,f)), așadar \otimes este asociativă.

23 puncte

Căutăm elementul neutru (e1, e2) astfel încât (a,b) \otimes (e1,e2) = (a,b) pentru orice (a,b). (a,b) \otimes (e1,e2) = (ae1, ae2 + b) = (a,b) \Rightarrow ae1 = a și ae2 + b = b. Din ae1 = a și a \neq 0, obținem e1 = 1. Din ae2 + b = b, obținem ae2 = 0, deci cu a \neq 0, e2 = 0. Verificăm: (1,0) \otimes (a,b) = (1\cdota, 1\cdotb + 0) = (a,b), deci elementul neutru este (1,0).

33 puncte

Pentru un element (a,b) \in M, căutăm inversul (a',b') astfel încât (a,b) \otimes (a',b') = (1,0). (a,b) \otimes (a',b') = (aa', ab' + b) = (1,0) \Rightarrow aa' = 1 și ab' + b = 0. Din aa' = 1 și a \neq 0, obținem a' = 1/a. Din ab' + b = 0, obținem b' = -b/a. Verificăm: (a,b) \otimes (1/a, -b/a) = (a\cdot1/a, a\cdot(-b/a) + b) = (1, -b + b) = (1,0). Deci inversul lui (a,b) este (1/a, -b/a).

41 punct

Deoarece operația \otimes este asociativă, are element neutru (1,0) și fiecare element are un invers, rezultă că (M, \otimes) formează un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Problemă rezolvată de Legi de compoziție