MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=RM = \mathbb{R} se consideră legea de compoziție x∘y=ax+by+cx \circ y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} sunt parametri reali. a) Să se determine condițiile pe care trebuie să le îndeplinească a,b,ca, b, c astfel încât legea să fie comutativă. b) Pentru a=2,b=3,c=1a=2, b=3, c=1, să se verifice dacă legea este asociativă. c) În cazul a=2,b=3,c=1a=2, b=3, c=1, să se afle elementul neutru al legii, dacă există. d) Pentru a=2,b=3,c=1a=2, b=3, c=1, să se rezolve în R\mathbb{R} ecuația x∘(x∘0)=5x \circ (x \circ 0) = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru comutativitate, avem x∘y=y∘xx \circ y = y \circ x pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Aceasta implică ax+by+c=ay+bx+cax + by + c = ay + bx + c, de unde rezultă a=ba = b. Condiția este a=ba = b, iar cc poate fi orice număr real.
23 puncte
Pentru a=2,b=3,c=1a=2, b=3, c=1, legea devine x∘y=2x+3y+1x \circ y = 2x + 3y + 1. Se calculează (x∘y)∘z=(2x+3y+1)∘z=2(2x+3y+1)+3z+1=4x+6y+2+3z+1=4x+6y+3z+3(x \circ y) \circ z = (2x+3y+1) \circ z = 2(2x+3y+1) + 3z + 1 = 4x+6y+2+3z+1 = 4x+6y+3z+3 și x∘(y∘z)=x∘(2y+3z+1)=2x+3(2y+3z+1)+1=2x+6y+9z+3+1=2x+6y+9z+4x \circ (y \circ z) = x \circ (2y+3z+1) = 2x + 3(2y+3z+1) + 1 = 2x+6y+9z+3+1 = 2x+6y+9z+4. Deoarece 4x+6y+3z+3≠2x+6y+9z+44x+6y+3z+3 \neq 2x+6y+9z+4 pentru cel puțin unele valori ale lui x,y,zx, y, z, legea nu este asociativă.
32 puncte
Căutăm e∈Re \in \mathbb{R} astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Avem 2x+3e+1=x2x + 3e + 1 = x, deci 3e+1=−x3e + 1 = -x. Această egalitate nu poate fi adevărată pentru orice xx, deci nu există element neutru.
43 puncte
Se rezolvă ecuația x∘(x∘0)=5x \circ (x \circ 0) = 5. Mai întâi, x∘0=2x+3⋅0+1=2x+1x \circ 0 = 2x + 3 \cdot 0 + 1 = 2x+1. Apoi, x∘(2x+1)=2x+3(2x+1)+1=2x+6x+3+1=8x+4x \circ (2x+1) = 2x + 3(2x+1) + 1 = 2x+6x+3+1 = 8x+4. Ecuația devine 8x+4=58x+4=5, deci 8x=18x=1 și x=18x = \frac{1}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.