MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Demonstrați că legea este asociativă, găsiți elementul neutru și determinați pentru ce valori ale lui x∈Rx \in \mathbb{R} există element simetric.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrați asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}, avem (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz, și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.\n
23 puncte
Găsiți elementul neutru ee: trebuie ca x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Rezolvăm x+e+xe=xx + e + xe = x, deci e+xe=0e + xe = 0, adică e(1+x)=0e(1 + x) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e = 0. Verificăm: x∗0=x+0+x⋅0=xx * 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x, și 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x, deci elementul neutru este 00.\n
34 puncte
Determinați elementele simetrizabile: pentru un xx, există x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Rezolvăm x+x′+xx′=0x + x' + xx' = 0, deci x′(1+x)=−xx'(1 + x) = -x. Dacă x≠−1x \neq -1, atunci x′=−x1+xx' = -\frac{x}{1+x}. Dacă x=−1x = -1, ecuația devine −1+x′+(−1)x′=−1-1 + x' + (-1)x' = -1, adică −1+x′−x′=−1-1 + x' - x' = -1, ceea ce nu poate fi satisfăcut pentru a obține 00, deci pentru x=−1x = -1 nu există element simetric. Astfel, elementele simetrizabile sunt x∈R∖{−1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}, cu simetricul x′=−x1+xx' = -\frac{x}{1+x}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.