MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} se definește operația ∗* prin a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab. Demonstrați că operația ∗* este asociativă și comutativă. Aflați elementul neutru și inversul unui element a∈R∖{−1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}. Rezolvați ecuația x∗(2∗x)=3x * (2 * x) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: a∗b=a+b+ab=b+a+ba=b∗aa * b = a + b + ab = b + a + ba = b * a.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: (a∗b)∗c=(a+b+ab)∗c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+ab+c+ac+bc+abc=a+b+c+ab+ac+bc+abc(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + ab + c + ac + bc + abc = a + b + c + ab + ac + bc + abc, iar a∗(b∗c)=a∗(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc=a+b+c+ab+ac+bc+abca * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc = a + b + c + ab + ac + bc + abc, deci sunt egale.
32 puncte
Elementul neutru ee verifică a∗e=aa * e = a: a+e+ae=a⇒e(1+a)=0⇒e=0a + e + ae = a \Rightarrow e(1 + a) = 0 \Rightarrow e = 0, pentru că a≠−1a \neq -1, deci e=0e = 0.
42 puncte
Inversul lui aa, notat a′a', verifică a∗a′=0a * a' = 0: a+a′+aa′=0⇒a′(1+a)=−a⇒a′=−a1+aa + a' + aa' = 0 \Rightarrow a'(1 + a) = -a \Rightarrow a' = \frac{-a}{1 + a}, pentru a≠−1a \neq -1.
51 punct
Rezolvăm ecuația x∗(2∗x)=3x * (2 * x) = 3: 2∗x=2+x+2x=2+3x2 * x = 2 + x + 2x = 2 + 3x, apoi x∗(2+3x)=x+(2+3x)+x(2+3x)=x+2+3x+2x+3x2=3x2+6x+2=3⇒3x2+6x−1=0⇒x=−6±36+126=−6±486=−6±436=−3±233x * (2 + 3x) = x + (2 + 3x) + x(2 + 3x) = x + 2 + 3x + 2x + 3x^2 = 3x^2 + 6x + 2 = 3 \Rightarrow 3x^2 + 6x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.