MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Se definește legea de compoziție ∗* pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} prin (a,b)∗(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) * (c,d) = (a+c, b+d + ac). Demonstrați că ∗* este asociativă, determinați elementul neutru, iar pentru un element (a,b)∈Z×Z(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, găsiți simetricul său, dacă există. Apoi rezolvați ecuația (1,2)∗x=(3,4)(1,2) * x = (3,4).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Verificăm asociativitatea. Pentru (a,b),(c,d),(e,f)∈Z×Z(a,b), (c,d), (e,f) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, calculăm ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(a+c,b+d+ac)∗(e,f)=((a+c)+e,(b+d+ac)+f+(a+c)e)=(a+c+e,b+d+ac+f+ae+ce)=(a+c+e,b+d+f+ac+ae+ce)((a,b) * (c,d)) * (e,f) = (a+c, b+d+ac) * (e,f) = ((a+c)+e, (b+d+ac)+f + (a+c)e) = (a+c+e, b+d+ac+f + ae+ce) = (a+c+e, b+d+f + ac+ae+ce). Pe de altă parte, (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(c+e,d+f+ce)=(a+(c+e),b+(d+f+ce)+a(c+e))=(a+c+e,b+d+f+ce+ac+ae)=(a+c+e,b+d+f+ac+ae+ce)(a,b) * ((c,d) * (e,f)) = (a,b) * (c+e, d+f+ce) = (a+(c+e), b+(d+f+ce) + a(c+e)) = (a+c+e, b+d+f+ce + ac+ae) = (a+c+e, b+d+f + ac+ae+ce). Deci operația este asociativă.
22 puncte
Pentru elementul neutru (e1,e2)(e_1, e_2), trebuie (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b) * (e_1,e_2) = (a,b) și (e1,e2)∗(a,b)=(a,b)(e_1,e_2) * (a,b) = (a,b). Din prima: (a+e1,b+e2+ae1)=(a,b)⇒a+e1=a⇒e1=0(a+e_1, b+e_2+ae_1) = (a,b) \Rightarrow a+e_1 = a \Rightarrow e_1=0 și b+e2+ae1=b⇒e2=0b+e_2+ae_1 = b \Rightarrow e_2=0 (deoarece e1=0e_1=0, atunci b+e2=b⇒e2=0b+e_2 = b \Rightarrow e_2=0). Verificăm: (0,0)∗(a,b)=(0+a,0+b+0⋅a)=(a,b)(0,0) * (a,b) = (0+a, 0+b+0 \cdot a) = (a,b) și (a,b)∗(0,0)=(a+0,b+0+a⋅0)=(a,b)(a,b) * (0,0) = (a+0, b+0 + a \cdot 0) = (a,b). Deci elementul neutru este (0,0)(0,0).
32 puncte
Pentru simetricul lui (a,b)(a,b), notat (a′,b′)(a',b'), trebuie (a,b)∗(a′,b′)=(0,0)(a,b) * (a',b') = (0,0). Deci (a+a′,b+b′+aa′)=(0,0)⇒a+a′=0⇒a′=−a(a+a', b+b' + aa') = (0,0) \Rightarrow a+a'=0 \Rightarrow a'=-a și b+b′+a(−a)=b+b′−a2=0⇒b′=a2−bb+b' + a(-a) = b+b' - a^2 = 0 \Rightarrow b' = a^2 - b. Deci simetricul este (−a,a2−b)(-a, a^2 - b).
42 puncte
Rezolvăm ecuația (1,2)∗x=(3,4)(1,2) * x = (3,4), unde x=(c,d)x=(c,d). Avem (1,2)∗(c,d)=(1+c,2+d+1⋅c)=(1+c,2+d+c)(1,2) * (c,d) = (1+c, 2+d+1 \cdot c) = (1+c, 2+d+c). Setăm egal cu (3,4)(3,4): 1+c=3⇒c=21+c=3 \Rightarrow c=2 și 2+d+c=4⇒2+d+2=4⇒d=02+d+c=4 \Rightarrow 2+d+2=4 \Rightarrow d=0. Deci x=(2,0)x=(2,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.