MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ∗* pe Z12\mathbb{Z}_{12} definită prin x∗y=(3x+4y)mod  12x * y = (3x + 4y) \mod 12. Studiați proprietățile: comutativitatea, asociativitatea, existența elementului neutru. Rezolvați ecuația x∗x=4x * x = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea. Avem x∗y=(3x+4y)mod  12x * y = (3x + 4y) \mod 12 și y∗x=(3y+4x)mod  12y * x = (3y + 4x) \mod 12. Pentru ca x∗y=y∗xx * y = y * x pentru orice x,yx, y, trebuie 3x+4y≡3y+4x(mod12)3x + 4y \equiv 3y + 4x \pmod{12}, adică y≡x(mod12)y \equiv x \pmod{12}, ceea ce nu este adevărat pentru toate perechile. Deci ∗* nu este comutativă.
23 puncte
Verificăm asociativitatea. Calculăm (x∗y)∗z=(3(3x+4y)+4z)mod  12=(9x+4z)mod  12(x * y) * z = (3(3x+4y) + 4z) \mod 12 = (9x+4z) \mod 12 și x∗(y∗z)=(3x+4(3y+4z))mod  12=(3x+4z)mod  12x * (y * z) = (3x+4(3y+4z)) \mod 12 = (3x+4z) \mod 12. Pentru asociativitate, trebuie 9x+4z≡3x+4z(mod12)9x+4z \equiv 3x+4z \pmod{12} pentru orice x,zx, z, adică 6x≡0(mod12)6x \equiv 0 \pmod{12}, fals. Deci ∗* nu este asociativă.
33 puncte
Căutăm elementul neutru ee. Trebuie x∗e=e∗x=xx * e = e * x = x pentru orice xx. Din x∗e=xx * e = x obținem 3x+4e≡x(mod12)3x+4e \equiv x \pmod{12}, deci 2x+4e≡0(mod12)2x+4e \equiv 0 \pmod{12}. Din e∗x=xe * x = x obținem 3e+4x≡x(mod12)3e+4x \equiv x \pmod{12}, deci 3e+3x≡0(mod12)3e+3x \equiv 0 \pmod{12}. Aceste condiții nu pot fi satisfăcute pentru toate xx, deci nu există element neutru.
42 puncte
Rezolvăm ecuația x∗x=4x * x = 4. Avem x∗x=(3x+4x)mod  12=7xmod  12x * x = (3x+4x) \mod 12 = 7x \mod 12. Deci 7x≡4(mod12)7x \equiv 4 \pmod{12}. Înmulțim cu inversul lui 7 modulo 12, care este 7, deoarece 7⋅7=49≡1(mod12)7 \cdot 7 = 49 \equiv 1 \pmod{12}. Obținem x≡28(mod12)≡4(mod12)x \equiv 28 \pmod{12} \equiv 4 \pmod{12}. Soluția este x=4x = 4 în Z12\mathbb{Z}_{12}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.