MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=2xy−x−y+1x*y = 2xy - x - y + 1. a) Arătați că ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x∗x=3x*x = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru comutativitate, se calculează y∗x=2yx−y−x+1=2xy−x−y+1=x∗yy*x = 2yx - y - x + 1 = 2xy - x - y + 1 = x*y, deci operația este comutativă. Pentru asociativitate, se calculează (x∗y)∗z=(2xy−x−y+1)∗z=2(2xy−x−y+1)z−(2xy−x−y+1)−z+1=4xyz−2xz−2yz+2z−2xy+x+y−1−z+1=4xyz−2xy−2xz−2yz+x+y+z(x*y)*z = (2xy - x - y + 1)*z = 2(2xy - x - y + 1)z - (2xy - x - y + 1) - z + 1 = 4xyz - 2xz - 2yz + 2z - 2xy + x + y - 1 - z + 1 = 4xyz - 2xy - 2xz - 2yz + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(2yz−y−z+1)=2x(2yz−y−z+1)−x−(2yz−y−z+1)+1=4xyz−2xy−2xz+2x−x−2yz+y+z−1+1=4xyz−2xy−2xz−2yz+x+y+zx*(y*z) = x*(2yz - y - z + 1) = 2x(2yz - y - z + 1) - x - (2yz - y - z + 1) + 1 = 4xyz - 2xy - 2xz + 2x - x - 2yz + y + z - 1 + 1 = 4xyz - 2xy - 2xz - 2yz + x + y + z, cele două sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Se caută e∈Re \in \mathbb{R} astfel încât x∗e=xx*e = x pentru orice xx. Ecuația 2xe−x−e+1=x2xe - x - e + 1 = x implică 2xe−e=2x−12xe - e = 2x - 1, deci e(2x−1)=2x−1e(2x - 1) = 2x - 1. Pentru x≠12x \neq \frac{1}{2}, se obține e=1e = 1, iar pentru x=12x = \frac{1}{2}, ecuația devine 12∗e=12\frac{1}{2}*e = \frac{1}{2}, care este verificată pentru e=1e=1, deci elementul neutru este e=1e=1.
33 puncte
Ecuația x∗x=3x*x = 3 devine 2x2−2x+1=32x^2 - 2x + 1 = 3, adică 2x2−2x−2=02x^2 - 2x - 2 = 0, cu soluțiile x=2±4+164=2±204=1±52x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.