MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compoziție
Pe mulțimea R+∗=(0,∞)\mathbb{R}_+^* = (0, \infty) definim legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=x2+y2x \circ y = \sqrt{x^2 + y^2}. a) Demonstrați că ∘\circ este comutativă. b) Verificați dacă ∘\circ este asociativă. c) Există element neutru pentru ∘\circ? Justificați răspunsul. d) Calculați (2∘3)∘4(2 \circ 3) \circ 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Comutativitatea: x∘y=x2+y2=y2+x2=y∘xx \circ y = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{y^2 + x^2} = y \circ x, deci ∘\circ este comutativă.
23 puncte
Asociativitatea: calculăm (x∘y)∘z=(x2+y2)2+z2=x2+y2+z2(x \circ y) \circ z = \sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} și x∘(y∘z)=x2+(y2+z2)2=x2+y2+z2x \circ (y \circ z) = \sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2})^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, deci sunt egale, așadar ∘\circ este asociativă.
33 puncte
Căutăm elementul neutru ee: presupunem că există ee astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice x>0x > 0. Atunci x2+e2=x⇒x2+e2=x2⇒e2=0⇒e=0\sqrt{x^2 + e^2} = x \Rightarrow x^2 + e^2 = x^2 \Rightarrow e^2 = 0 \Rightarrow e = 0, dar 0∉R+∗0 \notin \mathbb{R}_+^*, deci nu există element neutru.
42 puncte
Calculăm (2∘3)∘4(2 \circ 3) \circ 4: mai întâi 2∘3=22+32=4+9=132 \circ 3 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}, apoi 13∘4=(13)2+42=13+16=29\sqrt{13} \circ 4 = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + 4^2} = \sqrt{13 + 16} = \sqrt{29}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.