MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x≠1}M = \{ x \in ℝ \mid x \neq 1 \} și legea de compoziție ∘\circ definită pe MM prin x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2 pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Arătați că legea ∘\circ este asociativă, determinați elementul neutru și demonstrați că orice element din MM este simetrizabil. Rezolvați în MM ecuația x∘a=bx \circ a = b, unde a,b∈Ma, b \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru asociativitate, calculați (x∘y)∘z=(xy−x−y+2)∘z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x \circ y) \circ z = (xy - x - y + 2) \circ z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z și x∘(y∘z)=x∘(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx \circ (y \circ z) = x \circ (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z, deci sunt egale, iar legea este asociativă.
22 puncte
Elementul neutru ee satisface x∘e=xx \circ e = x pentru orice x∈Mx \in M. Rezolvați xe−x−e+2=x⇒e(x−1)=2x−2⇒e=2xe - x - e + 2 = x \Rightarrow e(x-1) = 2x-2 \Rightarrow e = 2 (deoarece x≠1x \neq 1, putem împărți), iar 2∈M2 \in M. Verificați că 2∘x=x2 \circ x = x.
33 puncte
Pentru simetrizabilitate, fie x∈Mx \in M, căutăm x′∈Mx' \in M cu x∘x′=2x \circ x' = 2. Rezolvați xx′−x−x′+2=2⇒xx′−x−x′=0⇒x′(x−1)=x⇒x′=xx−1xx' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow xx' - x - x' = 0 \Rightarrow x'(x-1) = x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}. Deoarece x≠1x \neq 1, x′x' este bine definit; verificați că x′≠1x' \neq 1 (altfel x=x−1⇒0=−1x = x-1 \Rightarrow 0=-1, fals), deci x′∈Mx' \in M.
42 puncte
Ecuația x∘a=bx \circ a = b devine xa−x−a+2=b⇒x(a−1)=b+a−2⇒x=b+a−2a−1xa - x - a + 2 = b \Rightarrow x(a-1) = b + a - 2 \Rightarrow x = \frac{b + a - 2}{a-1}, cu a≠1a \neq 1 (din definiția lui MM). Verificați că x≠1x \neq 1: dacă b+a−2a−1=1\frac{b + a - 2}{a-1} = 1, atunci b+a−2=a−1⇒b=1b + a - 2 = a-1 \Rightarrow b = 1, dar b∈Mb \in M, deci b≠1b \neq 1, așadar soluția este validă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.