MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∙y=xy−x−y+2x \bullet y = xy - x - y + 2. a) Studiați comutativitatea și asociativitatea legii. b) Determinați elementul neutru. c) Arătați că orice element x∈Mx \in M este simetrizabil și găsiți simetricul său. d) Rezolvați sistemul: {x∙y=3y∙z=4z∙x=5\begin{cases} x \bullet y = 3 \\ y \bullet z = 4 \\ z \bullet x = 5 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru comutativitate, avem x∙y=xy−x−y+2=yx−y−x+2=y∙xx \bullet y = xy - x - y + 2 = yx - y - x + 2 = y \bullet x, deci legea este comutativă.
23 puncte
Pentru asociativitate, calculăm (x∙y)∙z=(xy−x−y+2)∙z=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x \bullet y) \bullet z = (xy - x - y + 2) \bullet z = xyz - xy - xz - yz + x + y + z și x∙(y∙z)=x∙(yz−y−z+2)=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx \bullet (y \bullet z) = x \bullet (yz - y - z + 2) = xyz - xy - xz - yz + x + y + z; expresiile sunt egale, deci legea este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru ee se determină din x∙e=xx \bullet e = x pentru orice x∈Mx \in M. Avem xe−x−e+2=xx e - x - e + 2 = x, deci e(x−1)=2(x−1)e(x-1) = 2(x-1); pentru x≠1x \neq 1, obținem e=2e=2; verificăm x∙2=xx \bullet 2 = x.
42 puncte
Simetricul x′x' al lui xx se găsește din x∙x′=e=2x \bullet x' = e = 2. Avem xx′−x−x′+2=2x x' - x - x' + 2 = 2, deci x′(x−1)=xx'(x-1) = x; pentru x∈Mx \in M, x≠1x \neq 1, deci x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}.
51 punct
Rezolvăm sistemul. Din definiții, obținem: xy−x−y=1xy - x - y = 1, yz−y−z=2yz - y - z = 2, zx−z−x=3zx - z - x = 3. Setând a=x−1a=x-1, b=y−1b=y-1, c=z−1c=z-1, sistemul devine {ab=2bc=3ca=4\begin{cases} ab = 2 \\ bc = 3 \\ ca = 4 \end{cases}; soluțiile sunt a=±263a = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}, b=±62b = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}, c=±6c = \pm \sqrt{6}, de unde x=a+1x=a+1, y=b+1y=b+1, z=c+1z=c+1, cu verificarea condițiilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.