MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie G={f:R→R∣f(x)=ax+b, cu a∈R∗,b∈R}G = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(x) = ax + b, \text{ cu } a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \}. Pe GG se definește compunerea funcțiilor, adică pentru f,g∈Gf, g \in G, (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)). Demonstrați că (G,∘)(G, \circ) este un grup necomutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătăm că compunerea este o lege de compoziție internă pe GG: dacă f(x)=ax+bf(x)=ax+b și g(x)=cx+dg(x)=cx+d, cu a,c≠0a,c \neq 0, atunci (f∘g)(x)=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)(f \circ g)(x)=a(cx+d)+b=acx + (ad+b); deoarece ac≠0ac \neq 0, rezultă f∘g∈Gf \circ g \in G.
22 puncte
Demonstrați asociativitatea: compunerea funcțiilor este întotdeauna asociativă, deci pentru orice f,g,h∈Gf,g,h \in G, (f∘g)∘h=f∘(g∘h)(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h).
33 puncte
Găsiți elementul neutru: elementul neutru este funcția identică e(x)=xe(x)=x, adică cu a=1,b=0a=1, b=0; verificăm că pentru orice f∈Gf \in G, f∘e=e∘f=ff \circ e = e \circ f = f.
43 puncte
Arătați că fiecare element are invers: pentru f(x)=ax+bf(x)=ax+b, inversa este f−1(x)=x−baf^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}, care aparține lui GG deoarece 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0; verificăm că f∘f−1=f−1∘f=ef \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = e. Demonstrați că grupul nu este comutativ: dați un contraexemplu, de exemplu f(x)=2x+1f(x)=2x+1 și g(x)=x+2g(x)=x+2, atunci (f∘g)(x)=2(x+2)+1=2x+5(f \circ g)(x)=2(x+2)+1=2x+5, iar (g∘f)(x)=(2x+1)+2=2x+3(g \circ f)(x)=(2x+1)+2=2x+3, care sunt diferite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.