MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițiePolinoame
Se consideră operația ∗* definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin a∗b=a+b−aba*b = a + b - ab, pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Demonstrați că operația ∗* este comutativă și asociativă. Aflați elementul neutru și rezolvați ecuația x∗x∗x=2x*x*x = 2 în mulțimea R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Demonstrarea comutativității: a∗b=a+b−ab=b+a−ba=b∗aa*b = a+b-ab = b+a-ba = b*a, deci operația este comutativă.
23 puncte
Demonstrarea asociativității: Calculăm (a∗b)∗c=(a+b−ab)+c−(a+b−ab)c=a+b+c−ab−ac−bc+abc(a*b)*c = (a+b-ab)+c-(a+b-ab)c = a+b+c-ab-ac-bc+abc și a∗(b∗c)=a+(b+c−bc)−a(b+c−bc)=a+b+c−bc−ab−ac+abca*(b*c) = a+(b+c-bc)-a(b+c-bc) = a+b+c-bc-ab-ac+abc, deci (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a*b)*c = a*(b*c) și operația este asociativă.
32 puncte
Găsirea elementului neutru: Fie ee element neutru, atunci a∗e=a  ⟹  a+e−ae=a  ⟹  e(1−a)=0a*e = a \implies a+e-ae = a \implies e(1-a)=0 pentru orice a∈Ra \in \mathbb{R}, deci e=0e=0. Verificare: a∗0=a+0−a⋅0=aa*0 = a+0-a\cdot0 = a.
43 puncte
Rezolvarea ecuației x∗x∗x=2x*x*x = 2. Calculăm x∗x=x+x−x2=2x−x2x*x = x+x-x^2 = 2x-x^2, apoi (x∗x)∗x=(2x−x2)∗x=(2x−x2)+x−(2x−x2)x=3x−x2−2x2+x3=x3−3x2+3x(x*x)*x = (2x-x^2)*x = (2x-x^2)+x-(2x-x^2)x = 3x-x^2-2x^2+x^3 = x^3 -3x^2+3x. Ecuația devine x3−3x2+3x=2x^3 -3x^2+3x = 2, adică x3−3x2+3x−2=0x^3 -3x^2+3x-2=0. Factorizăm: (x−2)(x2−x+1)=0(x-2)(x^2 -x+1)=0, cu soluțiile reale x=2x=2, deoarece x2−x+1>0x^2 -x+1 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.