MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițiePolinoame
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x⊞y=x+y−xyx \boxplus y = x + y - xy. Studiați: a) Comutativitatea și asociativitatea. b) Elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x⊞x⊞x=1x \boxplus x \boxplus x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Comutativitatea: x⊞y=x+y−xy=y+x−yx=y⊞xx \boxplus y = x + y - xy = y + x - yx = y \boxplus x.
23 puncte
Asociativitatea: (x⊞y)⊞z=(x+y−xy)⊞z=x+y−xy+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \boxplus y) \boxplus z = (x+y-xy) \boxplus z = x+y-xy + z - (x+y-xy)z = x+y+z -xy -xz -yz + xyz. x⊞(y⊞z)=x⊞(y+z−yz)=x+y+z−yz−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx \boxplus (y \boxplus z) = x \boxplus (y+z-yz) = x + y+z-yz - x(y+z-yz) = x+y+z -yz -xy -xz + xyz. Expresiile sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: Căutăm ee astfel încât x⊞e=xx \boxplus e = x pentru orice xx. x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x+e-xe = x \Rightarrow e(1-x)=0 pentru toți xx, deci e=0e=0. Verificăm: x⊞0=x+0−x⋅0=xx \boxplus 0 = x+0-x\cdot0 = x.
43 puncte
Rezolvăm ecuația x⊞x⊞x=1x \boxplus x \boxplus x = 1. x⊞x=x+x−x2=2x−x2x \boxplus x = x+x-x^2 = 2x - x^2. Apoi (2x−x2)⊞x=2x−x2+x−(2x−x2)x=3x−x2−2x2+x3=x3−3x2+3x(2x - x^2) \boxplus x = 2x - x^2 + x - (2x - x^2)x = 3x - x^2 - 2x^2 + x^3 = x^3 - 3x^2 + 3x. Ecuația: x3−3x2+3x=1x^3 - 3x^2 + 3x = 1, adică x3−3x2+3x−1=0⇒(x−1)3=0x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^3 = 0, deci x=1x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.