MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul al II-lea
Fie legea de compoziție ⋆\star pe R\mathbb{R} definită prin x⋆y=x+y+kxyx \star y = x + y + kxy, unde k∈Rk \in \mathbb{R} este un parametru. a) Determinați pentru ce valori ale lui kk legea ⋆\star este asociativă. b) Pentru k=1k=1, demonstrați că (R,⋆)(\mathbb{R}, \star) este grup abelian. c) Pentru k=2k=2, rezolvați ecuația x⋆(x⋆2)=5x \star (x \star 2) = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificați asociativitatea: calculați (x⋆y)⋆z=(x+y+kxy)⋆z=x+y+z+kxy+k(x+y+kxy)z=x+y+z+kxy+kxz+kyz+k2xyz(x \star y) \star z = (x + y + kxy) \star z = x + y + z + kxy + k(x + y + kxy)z = x + y + z + kxy + kxz + kyz + k^2 xyz și x⋆(y⋆z)=x⋆(y+z+kyz)=x+y+z+kyz+kx(y+z+kyz)=x+y+z+kxy+kxz+kyz+k2xyzx \star (y \star z) = x \star (y + z + kyz) = x + y + z + kyz + kx(y + z + kyz) = x + y + z + kxy + kxz + kyz + k^2 xyz. Expresiile sunt identice pentru orice k∈Rk \in \mathbb{R}, deci ⋆\star este asociativă pentru toate kk.
23 puncte
Pentru k=1k=1, legea devine x⋆y=x+y+xyx \star y = x + y + xy. Găsiți elementul neutru ee: x⋆e=x⇒x+e+xe=x⇒e(1+x)=0⇒e=0x \star e = x \Rightarrow x + e + xe = x \Rightarrow e(1+x)=0 \Rightarrow e=0 pentru x≠−1x \neq -1, iar verificarea arată că 0⋆x=x0 \star x = x. Simetricul x′x' pentru x≠−1x \neq -1: x⋆x′=0⇒x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x1+xx \star x' = 0 \Rightarrow x + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1+x) = -x \Rightarrow x' = -\frac{x}{1+x}. Verificați comutativitatea: x⋆y=y⋆xx \star y = y \star x, deci este grup abelian.
34 puncte
Pentru k=2k=2, calculați x⋆2=x+2+2⋅x⋅2=x+2+4x=5x+2x \star 2 = x + 2 + 2 \cdot x \cdot 2 = x + 2 + 4x = 5x + 2. Apoi x⋆(5x+2)=x+(5x+2)+2⋅x⋅(5x+2)=x+5x+2+10x2+4x=10x2+10x+2x \star (5x+2) = x + (5x+2) + 2 \cdot x \cdot (5x+2) = x + 5x + 2 + 10x^2 + 4x = 10x^2 + 10x + 2. Ecuația este 10x2+10x+2=5⇒10x2+10x−3=010x^2 + 10x + 2 = 5 \Rightarrow 10x^2 + 10x - 3 = 0. Rezolvați: Δ=100−4⋅10⋅(−3)=100+120=220\Delta = 100 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 100 + 120 = 220, deci x=−10±22020=−10±25520=−5±5510x = \frac{-10 \pm \sqrt{220}}{20} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{55}}{20} = \frac{-5 \pm \sqrt{55}}{10}. Verificați dacă aceste valori sunt în R\mathbb{R}, ceea ce sunt, deci soluțiile sunt x=−5+5510x = \frac{-5 + \sqrt{55}}{10} și x=−5−5510x = \frac{-5 - \sqrt{55}}{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.