MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2. a) Demonstrați că (M,∘)(M, \circ) este grup abelian. b) Determinați x∈Mx \in M astfel încât x∘x∘x=8x \circ x \circ x = 8, unde x∘x∘xx \circ x \circ x înseamnă (x∘x)∘x(x \circ x) \circ x.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Mx, y \in M, x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2. Dacă x∘y=1x \circ y = 1, atunci xy−x−y+2=1⇒(x−1)(y−1)=0xy - x - y + 2 = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1)=0, dar x,y≠1x,y \neq 1, deci x∘y≠1x \circ y \neq 1, așadar operația este închisă pe MM.
21 punct
Comutativitatea: x∘y=xy−x−y+2=yx−y−x+2=y∘xx \circ y = xy - x - y + 2 = yx - y - x + 2 = y \circ x.
32 puncte
Asociativitatea: calculăm (x∘y)∘z(x \circ y) \circ z și x∘(y∘z)x \circ (y \circ z). (x∘y)∘z=(xy−x−y+2)∘z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xz−yz−xy+x+y+z(x \circ y) \circ z = (xy - x - y + 2) \circ z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xz - yz - xy + x + y + z. Similar, x∘(y∘z)=x∘(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz+x−yz+y+zx \circ (y \circ z) = x \circ (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz + x - yz + y + z. Expresiile sunt egale, deci operația este asociativă.
42 puncte
Elementul neutru: căutăm e∈Me \in M astfel încât x∘e=xx \circ e = x. Rezolvăm x∘e=xe−x−e+2=x⇒xe−e=2x−2⇒e(x−1)=2(x−1)x \circ e = xe - x - e + 2 = x \Rightarrow xe - e = 2x - 2 \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, avem e=2e = 2. Verificăm: x∘2=2x−x−2+2=xx \circ 2 = 2x - x - 2 + 2 = x, și 2∈M2 \in M deoarece 2≠12 \neq 1, deci elementul neutru este 22.
52 puncte
Elementele inverse: pentru fiecare x∈Mx \in M, căutăm x′x' astfel încât x∘x′=2x \circ x' = 2. Rezolvăm x∘x′=xx′−x−x′+2=2⇒xx′−x−x′=0⇒x′(x−1)=xx \circ x' = xx' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow xx' - x - x' = 0 \Rightarrow x'(x-1) = x. Deoarece x≠1x \neq 1, avem x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}. Verificăm că xx−1≠1\frac{x}{x-1} \neq 1 pentru x≠1x \neq 1, deci x′∈Mx' \in M.
62 puncte
Pentru partea b, calculăm x∘x=x2−2x+2x \circ x = x^2 - 2x + 2. Apoi, (x∘x)∘x=(x2−2x+2)∘x=(x2−2x+2)x−(x2−2x+2)−x+2=x3−2x2+2x−x2+2x−2−x+2=x3−3x2+3x(x \circ x) \circ x = (x^2 - 2x + 2) \circ x = (x^2 - 2x + 2)x - (x^2 - 2x + 2) - x + 2 = x^3 - 2x^2 + 2x - x^2 + 2x - 2 - x + 2 = x^3 - 3x^2 + 3x. Ecuația devine x3−3x2+3x=8⇒x3−3x2+3x−8=0x^3 - 3x^2 + 3x = 8 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 3x - 8 = 0. Observăm că aceasta se poate scrie ca (x−1)3−7=0(x-1)^3 - 7 = 0, deci (x−1)3=7⇒x=1+73(x-1)^3 = 7 \Rightarrow x = 1 + \sqrt[3]{7}. Verificăm că 1+73≠11 + \sqrt[3]{7} \neq 1, deci este soluție în MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.