MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ∗* definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Determinați condițiile pe a,b,ca, b, c pentru care legea este asociativă. b) Pentru valorile lui a,b,ca, b, c care satisfac asociativitatea, determinați elementul neutru, dacă există. c) În cazul în care există element neutru, găsiți elementele simetrizabile și simetricul fiecăruia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Scriem condiția de asociativitate (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru toate x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. Calculând ambele expresii și egalând coeficienții, obținem sistemul: a=ba = b și c=a2−ac = a^2 - a.\n
23 puncte
Pentru a=ba = b și c=a2−ac = a^2 - a, căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Din x∗e=xe+ax+ae+c=xx * e = xe + ax + ae + c = x, deducem e+a−1=0e + a - 1 = 0 și ae+c=0ae + c = 0. Substituind cc, obținem e=1−ae = 1 - a.\n
32 puncte
Verificăm că pentru a=ba = b și c=a2−ac = a^2 - a, legea este asociativă și are element neutru e=1−ae = 1 - a.\n
41 punct
Elementele simetrizabile sunt acele x∈Rx \in \mathbb{R} pentru care există x′x' cu x∗x′=ex * x' = e. Din x∗x′=xx′+ax+ax′+c=ex * x' = xx' + ax + ax' + c = e, rezolvând, obținem x′=e−ax−cx+ax' = \frac{e - ax - c}{x + a} pentru x≠−ax \neq -a. Dacă x=−ax = -a, nu este simetrizabil decât dacă e−a(−a)−c=0e - a(-a) - c = 0, ceea ce se reduce la condiții specifice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.