MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se definește operația ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. a) Arătați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Pentru fiecare a∈Ra \in \mathbb{R}, determinați simetricul lui aa, dacă există. d) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația (x∗2)∗3=4(x * 2) * 3 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=x+y−xy+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x*y)*z = (x+y-xy)*z = x+y-xy+z - (x+y-xy)z = x+y+z-xy-xz-yz+xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+y+z−yz−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx*(y*z) = x*(y+z-yz) = x+y+z-yz - x(y+z-yz) = x+y+z-yz-xy-xz+xyz, deci sunt egale, așadar legea este asociativă.
22 puncte
Elementul neutru ee satisface x∗e=xx*e = x pentru orice xx. Rezolvând x+e−xe=xx+e-xe = x, obținem e(1−x)=0e(1-x)=0 pentru orice xx, deci e=0e=0.
33 puncte
Pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, simetricul a′a' satisface a∗a′=0a*a' = 0. Din a+a′−aa′=0a+a'-aa' = 0, rezultă a′(1−a)=−aa'(1-a) = -a, deci a′=aa−1a' = \frac{a}{a-1} pentru a≠1a \neq 1. Dacă a=1a=1, ecuația devine 1+a′−a′=1=01+a'-a' = 1 = 0, imposibil, deci pentru a=1a=1 nu există simetric.
42 puncte
Rezolvarea ecuației: se calculează x∗2=x+2−2x=2−xx*2 = x+2-2x = 2-x. Apoi (2−x)∗3=(2−x)+3−3(2−x)=5−6+3x=−1+3x(2-x)*3 = (2-x)+3-3(2-x) = 5 - 6 + 3x = -1+3x. Ecuația devine −1+3x=4-1+3x = 4, deci 3x=53x=5, x=53x=\frac{5}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.