MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul al II-lea
Pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−y+ax+y−bx * y = \frac{xy - x - y + a}{x + y - b}, unde aa și bb sunt parametri reali. a) Determinați aa și bb astfel încât legea să fie bine definită și să admită element neutru. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că legea este comutativă și asociativă. c) Rezolvați ecuația x∗x=ex * x = e, unde ee este elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru bine definire, numitorul x+y−bx + y - b nu trebuie să se anuleze pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, deci b≠2b \neq 2. Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Rezolvând xe−x−e+ax+e−b=x\frac{xe - x - e + a}{x + e - b} = x, se obține e=1e = 1 și a=b−1a = b - 1. Astfel, condițiile sunt a=b−1a = b - 1 și b≠2b \neq 2.
23 puncte
Pentru a=b−1a = b - 1 și b≠2b \neq 2, se verifică comutativitatea: x∗y=xy−x−y+b−1x+y−b=y∗xx * y = \frac{xy - x - y + b - 1}{x + y - b} = y * x. Asociativitatea se demonstrează calculând (x∗y)∗z(x * y) * z și x∗(y∗z)x * (y * z) și arătând că sunt egale.
33 puncte
Ecuația x∗x=ex * x = e devine x2−2x+a2x−b=1\frac{x^2 - 2x + a}{2x - b} = 1. Înlocuind a=b−1a = b - 1, se obține x2−2x+b−12x−b=1\frac{x^2 - 2x + b - 1}{2x - b} = 1. Rezolvând, x2−2x+b−1=2x−b⇒x2−4x+2b−1=0x^2 - 2x + b - 1 = 2x - b \Rightarrow x^2 - 4x + 2b - 1 = 0. Soluțiile sunt x=1x = 1 (exclusă din domeniu) și x=b+12x = \frac{b+1}{2}, cu condiția b≠1b \neq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.