MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} definită prin x∗y=ax+by+cx * y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} sunt parametri reali. Determinați toate tripletele (a,b,c)(a,b,c) pentru care ∗* este asociativă și comutativă. Pentru aceste cazuri, găsiți elementul neutru și inversul oricărui element x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificați comutativitatea: x∗y=y∗x⇒ax+by+c=ay+bx+c⇒a=bx*y = y*x \Rightarrow ax+by+c = ay+bx+c \Rightarrow a=b;
24 puncte
Cu a=ba=b, verificați asociativitatea: calculați (x∗y)∗z=a(ax+ay+c)+az+c=a2x+a2y+ac+az+c(x*y)*z = a(ax+ay+c) + az + c = a^2 x + a^2 y + ac + az + c și x∗(y∗z)=ax+a(ay+az+c)+c=ax+a2y+a2z+ac+cx*(y*z) = ax + a(ay+az+c) + c = a x + a^2 y + a^2 z + ac + c; egalați pentru orice x,y,zx,y,z și obțineți a2=aa^2 = a, deci a=0a=0 sau a=1a=1;
32 puncte
Pentru a=1a=1, legea devine x∗y=x+y+cx*y = x+y+c; găsiți elementul neutru ee rezolvând e∗x=xe*x=x pentru orice xx: e+x+c=x⇒e=−ce+x+c=x \Rightarrow e=-c; pentru a=0a=0, legea x∗y=cx*y=c nu are element neutru (verificați rapid);
41 punct
Pentru a=1a=1 și e=−ce=-c, determinați inversul lui xx: rezolvați x∗x′=e⇒x+x′+c=−c⇒x′=−x−2cx*x'=e \Rightarrow x+x'+c=-c \Rightarrow x' = -x-2c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.