MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriMatrici
Fie M={A∈M2(R)∣A=(ab01),a∈R∗,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \}. Se definește operația ⋅\cdot ca fiind înmulțirea matricelor. a) Să se arate că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup. b) Să se determine dacă grupul este comutativ. c) Să se rezolve în MM ecuația X⋅(2101)=(4301)X \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică axiomele grupului:
  • Închiderea: pentru A1=(a1b101),A2=(a2b201)∈MA_1 = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M, A1⋅A2=(a1a2a1b2+b101)∈MA_1 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} a_1 a_2 & a_1 b_2 + b_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M deoarece a1a2∈R∗a_1 a_2 \in \mathbb{R}^*.
  • Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă.
  • Element neutru: I=(1001)∈MI = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M și A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A pentru orice A∈MA \in M.
  • Invers: pentru A=(ab01)∈MA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M, inversa este A−1=(1a−ba01)∈MA^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M și A⋅A−1=A−1⋅A=IA \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I.
22 puncte
Grupul nu este comutativ; se dă exemplu: A1=(2001),A2=(1101)A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, atunci A1⋅A2=(2201)A_1 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A2⋅A1=(2101)A_2 \cdot A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci diferite.
34 puncte
Se rezolvă ecuația: fie X=(xy01)∈MX = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M. Atunci X⋅(2101)=(2xx+y01)=(4301)X \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & x + y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, de unde 2x=42x = 4 și x+y=3x + y = 3, adică x=2x=2, y=1y=1, deci X=(2101)X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.