MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Fie operația ∗* pe mulțimea M={x∈R∣x>−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} definită prin x∗y=x+y+xyx*y = x + y + xy. a) Demonstrați că (M,∗)(M,*) este monoid. b) Determinați U(M)U(M), mulțimea elementelor inversabile. c) Rezolvați sistemul de ecuații: {x∗y=0y∗z=1z∗x=2\begin{cases} x*y = 0 \\ y*z = 1 \\ z*x = 2 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x*y)*z = (x+y+xy)*z = x+y+xy + z + (x+y+xy)z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+y+z+yz+x(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+xyzx*(y*z) = x*(y+z+yz) = x + y+z+yz + x(y+z+yz) = x+y+z+xy+xz+xyz, cele două sunt egale, deci operația este asociativă. Elementul neutru ee satisface x∗e=xx*e = x pentru orice xx, adică x+e+xe=xx+e+xe = x, deci e(1+x)=0e(1+x)=0. Cum x>−1x > -1, 1+x>01+x > 0, rezultă e=0e=0, care aparține lui MM, deci (M,∗)(M,*) este monoid cu elementul neutru 00.
23 puncte
Un element x∈Mx \in M este inversabil dacă există y∈My \in M astfel încât x∗y=0x*y = 0. Ecuația x+y+xy=0x+y+xy=0 dă y(1+x)=−xy(1+x) = -x, deci y=−x1+xy = -\frac{x}{1+x}. Condiția y>−1y > -1 este echivalentă cu −x1+x>−1-\frac{x}{1+x} > -1, ceea ce pentru x>−1x > -1 implică x≠−1x \neq -1, dar x>−1x > -1, deci U(M)={x∈M∣x≠−1}=M∖{−1}U(M) = \{ x \in M \mid x \neq -1 \} = M \setminus \{-1\}.
34 puncte
Sistemul devine: {x+y+xy=0y+z+yz=1z+x+zx=2\begin{cases} x+y+xy=0 \\ y+z+yz=1 \\ z+x+zx=2 \end{cases}. Din prima ecuație, y=−x1+xy = -\frac{x}{1+x} (cu x≠−1x \neq -1). Înlocuind în a doua: −x1+x+z+(−x1+x)z=1⇒z(1−x1+x)=1+x1+x⇒z(11+x)=1+2x1+x⇒z=1+2x-\frac{x}{1+x} + z + \left(-\frac{x}{1+x}\right)z = 1 \Rightarrow z\left(1 - \frac{x}{1+x}\right) = 1 + \frac{x}{1+x} \Rightarrow z\left(\frac{1}{1+x}\right) = \frac{1+2x}{1+x} \Rightarrow z = 1+2x. Înlocuind zz în a treia: (1+2x)+x+(1+2x)x=2⇒1+3x+2x2=2⇒2x2+3x−1=0(1+2x) + x + (1+2x)x = 2 \Rightarrow 1+3x + 2x^2 = 2 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0, cu soluțiile x=−3±9+84=−3±174x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}. Cum x>−1x > -1, ambele soluții verifică. Apoi se calculează yy și zz corespunzător.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.