MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie M={x∈R∣x≠1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1 \} și legea de compoziție ∗* definită pe MM prin x∗y=xy−x−y+2x+y−2x*y = \frac{xy - x - y + 2}{x+y-2}. a) Verificați că ∗* este bine definită și demonstrați că este asociativă. b) Găsiți elementul neutru și determinați pentru care x∈Mx \in M există simetric. c) Rezolvați în MM ecuația x∗(x∗x)=ex*(x*x) = e, unde ee este elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătăm că pentru orice x,y∈Mx,y \in M, numitorul x+y−2≠0x+y-2 \neq 0, deci legea este bine definită.
23 puncte
Calculăm (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2(xy−x−y+2)+z−2(x*y)*z = \frac{(xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2}{(xy - x - y + 2) + z - 2} și x∗(y∗z)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2x+(yz−y−z+2)−2x*(y*z) = \frac{x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2}{x + (yz - y - z + 2) - 2}, simplificăm și demonstrăm egalitatea, deci asociativitate.
32 puncte
Căutăm e∈Me \in M cu x∗e=xx*e = x, obținem e=2e=2 verificând 2x−x−2+2x+2−2=x\frac{2x - x - 2 + 2}{x+2-2} = x.
42 puncte
Pentru x∈Mx \in M, simetricul x′x' satisface x∗x′=2x*x' = 2, rezolvând ecuația xx′−x−x′+2x+x′−2=2\frac{xx' - x - x' + 2}{x+x'-2} = 2, găsim x′=2x−2x−1x' = \frac{2x-2}{x-1}, care aparține lui M dacă x≠1x \neq 1 (adevărat).
51 punct
Ecuația x∗(x∗x)=2x*(x*x) = 2, folosind asociativitatea, devine (x∗x)∗x=2(x*x)*x = 2, cu x∗x=x2−2x+22x−2x*x = \frac{x^2 - 2x + 2}{2x-2}, substituim și rezolvăm, obținând x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.