MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2. a) Demonstrați că (M,∘)(M, \circ) este grup. b) Determinați a∈Ma \in M astfel încât a∘a=aa \circ a = a.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a demonstra că (M,∘)(M, \circ) este grup, se verifică: închiderea – pentru x,y∈Mx, y \in M, x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2, și dacă x≠1x \neq 1 și y≠1y \neq 1, atunci x∘y≠1x \circ y \neq 1 (se poate arăta prin contradicție sau calcul direct că x∘y=1x \circ y = 1 implică x=1x=1 sau y=1y=1); asociativitatea – se calculează (x∘y)∘z=(xy−x−y+2)∘z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x \circ y) \circ z = (xy - x - y + 2) \circ z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z și x∘(y∘z)=x∘(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx \circ (y \circ z) = x \circ (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z, deci sunt egale.\n
23 puncte
Elementul neutru ee satisface x∘e=xx \circ e = x pentru orice x∈Mx \in M, adică xe−x−e+2=x⇒xe−e+2=2x⇒e(x−1)=2(x−1)xe - x - e + 2 = x \Rightarrow xe - e + 2 = 2x \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, se împarte la x−1x-1 și obține e=2e = 2. Verificare: x∘2=2x−x−2+2=xx \circ 2 = 2x - x - 2 + 2 = x. Inversul x−1x^{-1} satisface x∘x−1=2x \circ x^{-1} = 2, adică xx−1−x−x−1+2=2⇒xx−1−x−x−1=0⇒x−1(x−1)=xxx^{-1} - x - x^{-1} + 2 = 2 \Rightarrow xx^{-1} - x - x^{-1} = 0 \Rightarrow x^{-1}(x-1) = x. Pentru x≠1x \neq 1, x−1=xx−1∈Mx^{-1} = \frac{x}{x-1} \in M (deoarece xx−1≠1\frac{x}{x-1} \neq 1 pentru x≠1x \neq 1).\n
33 puncte
Ecuația a∘a=aa \circ a = a devine a2−a−a+2=aa^2 - a - a + 2 = a, adică a2−3a+2=0a^2 - 3a + 2 = 0. Rezolvând, a2−3a+2=(a−1)(a−2)=0a^2 - 3a + 2 = (a-1)(a-2) = 0, deci a=1a = 1 sau a=2a = 2. Dar a∈M=R∖{1}a \in M = \mathbb{R} \setminus \{1\}, deci a=1a = 1 este exclusă. Astfel, singura soluție este a=2a = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.