MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R\mathbb{R} se consideră legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=x+y1+xyx * y = \frac{x + y}{1 + xy}, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} cu 1+xy≠01 + xy \neq 0. a) Demonstrați că operația ∗* este asociativă. b) Găsiți elementul neutru ee al operației ∗*. c) Pentru fiecare x∈Rx \in \mathbb{R}, determinați simetricul lui xx față de operația ∗*, dacă există. d) Rezolvați ecuația (x∗2)∗3=4(x * 2) * 3 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru a demonstra asociativitatea, se calculează (x∗y)∗z=x+y1+xy+z1+z⋅x+y1+xy(x * y) * z = \frac{\frac{x+y}{1+xy} + z}{1 + z \cdot \frac{x+y}{1+xy}} și x∗(y∗z)=x+y+z1+yz1+x⋅y+z1+yzx * (y * z) = \frac{x + \frac{y+z}{1+yz}}{1 + x \cdot \frac{y+z}{1+yz}}, se simplifică și se arată că sunt egale.
22 puncte
Elementul neutru se obține rezolvând x∗e=xx * e = x, adică x+e1+xe=x\frac{x+e}{1+xe} = x, de unde e=0e=0.
32 puncte
Simetricul x′x' se obține din x∗x′=ex * x' = e, adică x+x′1+xx′=0\frac{x + x'}{1 + x x'} = 0, deci x′=−xx' = -x, cu condiția 1−x2≠01 - x^2 \neq 0.
43 puncte
Rezolvarea ecuației (x∗2)∗3=4(x * 2) * 3 = 4: se calculează x∗2=x+21+2xx * 2 = \frac{x+2}{1+2x}, apoi (x∗2)∗3=x+21+2x+31+3⋅x+21+2x=4(x*2)*3 = \frac{\frac{x+2}{1+2x} + 3}{1 + 3 \cdot \frac{x+2}{1+2x}} = 4, se simplifică la x+2+3(1+2x)1+2x+3(x+2)=4\frac{x+2+3(1+2x)}{1+2x+3(x+2)} = 4, de unde 7x+55x+7=4\frac{7x+5}{5x+7} = 4, rezolvând se obține x=−2313x = -\frac{23}{13}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.