MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Fie mulțimea A={a,b,c,d}A = \{ a, b, c, d \} și legea de compoziție ∗* definită prin tabelul: ∗abcdaabcdbbadcccdabddcba\begin{array}{c|cccc} * & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & a & d & c \\ c & c & d & a & b \\ d & d & c & b & a \\ \end{array} a) Studiați proprietățile operației ∗* (asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile). b) Rezolvați sistemul de ecuații: {x∗y=ay∗z=bz∗x=c\begin{cases} x * y = a \\ y * z = b \\ z * x = c \end{cases} în mulțimea AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observați comutativitatea din tabel: pentru orice x,y∈Ax, y \in A, x∗y=y∗xx * y = y * x, deoarece tabelul este simetric față de diagonala principală.
23 puncte
Verificați asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Ax, y, z \in A, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z); puteți verifica prin câteva cazuri reprezentative sau observați că tabelul definește grupul lui Klein, care este asociativ.
32 puncte
Identificați elementul neutru: aa este element neutru deoarece a∗x=x∗a=xa * x = x * a = x pentru orice x∈Ax \in A; fiecare element este propriul simetric: x∗x=ax * x = a pentru orice x∈Ax \in A, deci x′=xx' = x.
43 puncte
Rezolvați sistemul: din x∗y=ax * y = a și comutativitate, deducem x=yx = y; din y∗z=by * z = b, cu y=xy = x, avem x∗z=bx * z = b; din tabel, x∗z=bx * z = b implică x=ax = a și z=bz = b, sau x=bx = b și z=az = a, sau x=cx = c și z=dz = d, sau x=dx = d și z=cz = c; verificați cu a treia ecuație z∗x=cz * x = c: pentru fiecare pereche, obțineți soluția (x,y,z)=(c,c,d)(x, y, z) = (c, c, d) sau (d,d,c)(d, d, c), dar cu x=yx = y, soluțiile finale sunt (c,c,d)(c, c, d) și (d,d,c)(d, d, c).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.