MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R∗=R∖{0}\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\} considerăm operația ∗* definită prin x∗y=xyx+yx * y = \frac{xy}{x+y}, dacă x+y≠0x+y \neq 0. a) Studiați buna definire a operației pe R∗\mathbb{R}^*, adică dacă x∗y∈R∗x * y \in \mathbb{R}^* pentru orice x,y∈R∗x,y \in \mathbb{R}^* cu x+y≠0x+y \neq 0. b) Verificați comutativitatea. c) Cercetați asociativitatea. d) Determinați elementul neutru, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Buna definire: Pentru x,y∈R∗x,y \in \mathbb{R}^* cu x+y≠0x+y \neq 0, avem x∗y=xyx+yx * y = \frac{xy}{x+y}. Trebuie să verificăm dacă xyx+y≠0\frac{xy}{x+y} \neq 0 și dacă x+y≠0x+y \neq 0 este garantat. Dar xy≠0xy \neq 0 deoarece x,y≠0x,y \neq 0, și x+y≠0x+y \neq 0 prin ipoteză, deci x∗y∈R∗x * y \in \mathbb{R}^*. Totuși, există perechi x,yx,y cu x+y=0x+y=0 (de exemplu x=1,y=−1x=1, y=-1), caz în care operația nu este definită; pe R∗\mathbb{R}^*, operația este parțial definită, iar pentru a fi bine definită pe întreaga mulțime, ar trebui restricționată la submulțimi unde x+y≠0x+y \neq 0 pentru toate perechile.
22 puncte
Comutativitatea: Dacă x+y≠0x+y \neq 0, atunci x∗y=xyx+y=yxy+x=y∗xx * y = \frac{xy}{x+y} = \frac{yx}{y+x} = y * x, deci operația este comutativă.
33 puncte
Asociativitatea: Calculăm (x∗y)∗z=xyx+y∗z=xyx+y⋅zxyx+y+z=xyz(x+y)(xyx+y+z)=xyzxy+z(x+y)=xyzxy+xz+yz(x * y) * z = \frac{xy}{x+y} * z = \frac{ \frac{xy}{x+y} \cdot z }{ \frac{xy}{x+y} + z } = \frac{xyz}{(x+y) \left( \frac{xy}{x+y} + z \right) } = \frac{xyz}{xy + z(x+y)} = \frac{xyz}{xy + xz + yz}. Și x∗(y∗z)=x∗yzy+z=x⋅yzy+zx+yzy+z=xyz(y+z)(x+yzy+z)=xyzx(y+z)+yz=xyzxy+xz+yzx * (y * z) = x * \frac{yz}{y+z} = \frac{x \cdot \frac{yz}{y+z} }{ x + \frac{yz}{y+z} } = \frac{xyz}{(y+z) \left( x + \frac{yz}{y+z} \right) } = \frac{xyz}{x(y+z) + yz} = \frac{xyz}{xy + xz + yz}. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă când este definită.
42 puncte
Elementul neutru ee: Presupunem că există ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx cu x+e≠0x+e \neq 0. Avem xex+e=x⇒xe=x(x+e)⇒xe=x2+xe⇒x2=0\frac{xe}{x+e} = x \Rightarrow xe = x(x+e) \Rightarrow xe = x^2 + xe \Rightarrow x^2 = 0, ceea ce este fals pentru x≠0x \neq 0. Deci nu există element neutru pe R∗\mathbb{R}^* cu această operație.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.