MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Fie mulțimea A={x∈R∣x>−1}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=x+y+xyx \circ y = x + y + xy pentru orice x,y∈Ax, y \in A. a) Demonstrați că (A,∘)(A, \circ) este un monoid comutativ. b) Determinați U(A)U(A), mulțimea elementelor inversabile ale monoidului, și arătați că (U(A),∘)(U(A), \circ) este un grup. c) Rezolvați în AA sistemul de ecuații: {x∘y=0x∘(y∘z)=3\begin{cases} x \circ y = 0 \\ x \circ (y \circ z) = 3 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificați închiderea: pentru x,y>−1x,y > -1, x∘y=x+y+xy>−1x \circ y = x+y+xy > -1 deoarece x+y+xy+1=(x+1)(y+1)>0x+y+xy + 1 = (x+1)(y+1) > 0, deci x∘y∈Ax \circ y \in A. Comutativitatea: x∘y=x+y+xy=y+x+yx=y∘xx \circ y = x+y+xy = y+x+yx = y \circ x. Asociativitatea: (x∘y)∘z=(x+y+xy)∘z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x \circ y) \circ z = (x+y+xy) \circ z = x+y+xy + z + (x+y+xy)z = x+y+z + xy + xz + yz + xyz și x∘(y∘z)=x∘(y+z+yz)=x+y+z+yz+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx \circ (y \circ z) = x \circ (y+z+yz) = x + y+z+yz + x(y+z+yz) = x+y+z + yz + xy + xz + xyz, egal. Elementul neutru: ee cu x∘e=x⇒x+e+xe=x⇒e(1+x)=0⇒e=0∈Ax \circ e = x \Rightarrow x+e+xe = x \Rightarrow e(1+x) = 0 \Rightarrow e=0 \in A. Deci (A,∘)(A, \circ) este monoid comutativ.
23 puncte
U(A)U(A): un element x∈Ax \in A este inversabil dacă există x′∈Ax' \in A cu x∘x′=0x \circ x' = 0. Ecuația x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x/(1+x)x + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1+x) = -x \Rightarrow x' = -x/(1+x), care aparține lui AA dacă x>−1x > -1 și x≠−1x \neq -1, dar x>−1x > -1 exclude x=−1x=-1, deci U(A)=AU(A) = A. Verificarea grupului: pentru x∈U(A)x \in U(A), inversul este −x/(1+x)∈A-x/(1+x) \in A, și operația este asociativă și comutativă, cu element neutru 00.
34 puncte
Sistemul: din prima ecuație, x∘y=0⇒x+y+xy=0⇒y=−x/(1+x)x \circ y = 0 \Rightarrow x+y+xy=0 \Rightarrow y = -x/(1+x). A doua ecuație: x∘(y∘z)=3x \circ (y \circ z) = 3. Calculăm y∘z=y+z+yz=−x/(1+x)+z−(x/(1+x))zy \circ z = y+z+yz = -x/(1+x) + z - (x/(1+x))z. Atunci x∘(y∘z)=x+(y∘z)+x(y∘z)=3x \circ (y \circ z) = x + (y \circ z) + x(y \circ z) = 3. Înlocuind și simplificând, obținem x+z+xz=3x + z + xz = 3. Combinând cu x+y+xy=0x+y+xy=0 și y=−x/(1+x)y = -x/(1+x), rezolvăm: din x+z+xz=3⇒z(1+x)=3−x⇒z=(3−x)/(1+x)x+z+xz=3 \Rightarrow z(1+x) = 3-x \Rightarrow z = (3-x)/(1+x) pentru x≠−1x \neq -1. Verificăm condiții: x>−1x > -1, y=−x/(1+x)>−1y = -x/(1+x) > -1 (adevărat pentru x>−1x > -1), z=(3−x)/(1+x)>−1z = (3-x)/(1+x) > -1 cere (3−x)/(1+x)>−1⇒3−x>−1−x⇒3>−1(3-x)/(1+x) > -1 \Rightarrow 3-x > -1-x \Rightarrow 3 > -1, adevărat. Soluțiile sunt x∈(−1,∞)x \in (-1, \infty), y=−x/(1+x)y = -x/(1+x), z=(3−x)/(1+x)z = (3-x)/(1+x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.