MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul al II-lea
Fie legea de compoziție ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=xy+2x+2y+2x * y = xy + 2x + 2y + 2, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. a) Arătați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=0x * x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru asociativitate, se calculează (x∗y)∗z=(xy+2x+2y+2)∗z=(xy+2x+2y+2)z+2(xy+2x+2y+2)+2z+2=xyz+2xz+2yz+2z+2xy+4x+4y+4+2z+2=xyz+2xy+2xz+2yz+4x+4y+4z+6(x * y) * z = (xy + 2x + 2y + 2) * z = (xy + 2x + 2y + 2)z + 2(xy + 2x + 2y + 2) + 2z + 2 = xyz + 2xz + 2yz + 2z + 2xy + 4x + 4y + 4 + 2z + 2 = xyz + 2xy + 2xz + 2yz + 4x + 4y + 4z + 6 și x∗(y∗z)=x∗(yz+2y+2z+2)=x(yz+2y+2z+2)+2x+2(yz+2y+2z+2)+2=xyz+2xy+2xz+2x+2x+2yz+4y+4z+4+2=xyz+2xy+2xz+2yz+4x+4y+4z+6x * (y * z) = x * (yz + 2y + 2z + 2) = x(yz + 2y + 2z + 2) + 2x + 2(yz + 2y + 2z + 2) + 2 = xyz + 2xy + 2xz + 2x + 2x + 2yz + 4y + 4z + 4 + 2 = xyz + 2xy + 2xz + 2yz + 4x + 4y + 4z + 6, deci sunt egale.\n
23 puncte
Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x pentru orice xx, adică xe+2x+2e+2=xxe + 2x + 2e + 2 = x. Rezolvând, xe+2e+2=−xxe + 2e + 2 = -x, deci e(x+2)=−x−2e(x+2) = -x-2, și pentru x≠−2x \neq -2, e=−1e = -1, dar verificând pentru x=−2x = -2, se obține e=−2e = -2 din ecuația generală. De fapt, din x∗e=xx * e = x, avem xe+2x+2e+2=x⇒xe+2e+2=0⇒e(x+2)=−2xe + 2x + 2e + 2 = x \Rightarrow xe + 2e + 2 = 0 \Rightarrow e(x+2) = -2. Pentru a fi valabil pentru orice xx, coeficientul lui xx trebuie să fie zero, deci e=−2e = -2 (verificând, x∗(−2)=x(−2)+2x+2(−2)+2=−2x+2x−4+2=xx * (-2) = x(-2) + 2x + 2(-2) + 2 = -2x + 2x -4 + 2 = x).\n
33 puncte
Ecuația x∗x=0x * x = 0 devine x2+2x+2x+2=0x^2 + 2x + 2x + 2 = 0, adică x2+4x+2=0x^2 + 4x + 2 = 0. Discriminantul este Δ=16−8=8\Delta = 16 - 8 = 8, deci soluțiile sunt x=−4±82=−2±2x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.