MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. a) Să se determine elementul neutru al acestei legi. b) Să se studieze dacă legea este asociativă. c) Să se rezolve ecuația (x∗x)∗2=3(x * x) * 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a găsi elementul neutru ee, rezolvăm x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Avem x+e−xe=x⇒e−xe=0⇒e(1−x)=0x + e - xe = x \Rightarrow e - xe = 0 \Rightarrow e(1-x) = 0 pentru toți xx. Deci e=0e=0. Verificare: x∗0=x+0−x⋅0=xx*0 = x+0 - x\cdot0 = x.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z). Calculăm (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x*y)*z = (x+y-xy)*z = (x+y-xy) + z - (x+y-xy)z = x+y+z - xy - xz - yz + xyz. Similar, x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−xy−xz−yz+xyzx*(y*z) = x*(y+z-yz) = x + (y+z-yz) - x(y+z-yz) = x+y+z - xy - xz - yz + xyz. Cele două sunt egale, deci legea este asociativă.
34 puncte
Rezolvăm ecuația (x∗x)∗2=3(x*x)*2 = 3. Mai întâi, x∗x=2x−x2x*x = 2x - x^2. Apoi (x∗x)∗2=(2x−x2)∗2=(2x−x2)+2−(2x−x2)⋅2=2x−x2+2−4x+2x2=x2−2x+2(x*x)*2 = (2x - x^2)*2 = (2x - x^2) + 2 - (2x - x^2)\cdot2 = 2x - x^2 + 2 - 4x + 2x^2 = x^2 - 2x + 2. Ecuația devine x2−2x+2=3⇒x2−2x−1=0x^2 - 2x + 2 = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0. Soluțiile sunt x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.